高考数学专题突破：分类讨论思想VIP专享VIP免费

高考数学专题突破：分类讨论思想一．知识探究：分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究；3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级；4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求；5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）（4）总结概括，得出结论；6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。二．命题趋势分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2008年对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的试题，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。三．例题点评题型1：集合中分类讨论问题例1．已知集合M=｛a2,a+1,－3｝,N=｛a－3,2a－1,a2+1｝,若M∩N=｛－3｝,则a的值（）A．－1B．0C．1D．2用心爱心专心解析：A；M∩N=｛-3｝，N=｛a-3，2a-1，a2+1｝，若a－3=-3,则a=0,此时M={0,1,－3}，N={－3，－1，1}，则M∩N=｛-3，1｝，故不适合。若2a－1=－3，则a=－1，此时M={1,0,－3},N={－4,－3,2}，若a2+1=－3，此方程无实数解。点评：该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性。例2．（06全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。解析：由f（x）为二次函数知，令f（x）＝0解得其两根为由此可知（i）当时，，的充要条件是，即解得；（ii）当时，，的充要条件是，即解得；综上，使成立的a的取值范围为。点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不重不漏。题型2：函数、方程中分类讨论问题例3．（2007年北京理）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为。（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．解析：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图...