专题突破训练(一)导数与不等式时间/45分钟分值/72分基础热身1.(12分)[2019·安徽皖中模拟]已知f(x)=-x2-3,g(x)=2xlnx-ax.(1)若函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,求函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线方程;(2)当x∈(0,+∞)时,若g(x)-f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.2.(12分)[2019·唐山摸底]设f(x)=2xlnx+1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:f(x)≤x2-x+1x+2lnx.能力提升13.(12分)[2018·马鞍山二模]已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.(1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a的取值范围;(2)求证:当0
0时,f(x)>1恒成立.4.(12分)[2018·河南新乡二模]已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数φ(x)=xex+4x-f(x)的单调区间;(2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明.5.(12分)[2018·东北三省三校二模]已知函数f(x)=x-alnx-1,曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线经过点(e,0).(1)证明:f(x)≥0;2(2)若当x∈[1,+∞)时,f(1x)≥(lnx)2p+lnx,求p的取值范围.难点突破6.(12分)[2018·江淮十校三联]已知函数f(x)=axlnx.(1)当a=2时求函数f(x)的单调递减区间;(2)若方程f(x)=1有两个不相等的实数根x1,x2,证明:x1+x2>2e.3专题突破训练(一)1.解:(1)f'(x)=-2x,g'(x)=2lnx+2-a,因为函数f(x)与g(x)的图像在x=1处的切线平行,所以f'(1)=g'(1),解得a=4,所以g(1)=-4,g'(1)=-2,所以函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线方程为2x+y+2=0.(2)当x∈(0,+∞)时,由g(x)-f(x)≥0恒成立得,2xlnx-ax+x2+3≥0恒成立,即a≤2lnx+x+3x恒成立.设h(x)=2lnx+x+3x,则h'(x)=x2+2x-3x2=(x+3¿¿(x>0),当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a≤4,即a的取值范围为(-∞,4].2.解:(1)f'(x)=2(lnx+1).当x∈(0,1e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=1e时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f(1e)=1-2e.(2)证明:令F(x)=x2-x+1x+2lnx-f(x)=x(x-1)-x-1x-2(x-1)lnx=(x-1)(x-1x-2lnx).令g(x)=x-1x-2lnx,则g'(x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2≥0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又因为g(1)=0,所以当00,4当x>1时,g(x)>0,F(x)>0,当x=1时,F(x)=0,所以F(x)=(x-1)(x-1x-2lnx)≥0,即f(x)≤x2-x+1x+2lnx.3.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0},对函数f(x)=ex-ax求导,得f'(x)=ex(x-1)+ax2.令g(x)=ex(x-1)+a,则g'(x)=x·ex,当x<0时,g'(x)<0,则g(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,g'(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增.因为g(0)=a-1,且f(x)在定义域内无极值点,所以a≥1.(2)证明:f'(x)=ex(x-1)+ax2,由(1)可知g(x)=ex(x-1)+a在(0,+∞)上单调递增,又当00,所以存在x0∈(0,1),使得g(x0)=0,即f'(x0)=0,且当0x0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(x0).由g(x0)=ex0(x0-1)+a=0知f(x0)=ex0>1,所以当00时,f(x)>1恒成立.4.解:(1)φ'(x)=(x-2)(ex-2),令φ'(x)=0,得x1=ln2,x2=2.令φ'(x)>0,得x2;令φ'(x)<0,得ln2g(x).证明如下:设h(x)=f(x)-g(x)=3ex+x2-9x+1,因为h'(x)=3ex+2x-9为增函数,5且h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,所以存在x0∈(0,1),使得h'(x0)=0.当x>x0时,h'(x)>0;当x0,所以h(x)min>0,所以f(x)>g(x).5.解:(1)证明:f'(x)=1-ax(x>0),由题知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=f'(1)(x-1),即y=(1-a)(x-1),又切线经过点(e,0),所以0=(1-a)(e-1),解得a=1.所以f(x)=x-lnx-1,从而f'(x)=1-1x=x-1x(x>0).因为当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,1)上是减函数,在区间(1,+∞)上是增函数,从而f(x)≥f(1)=0.(2)由题意知,当x∈[1,+∞)时,p+lnx≠0,所以p>0,从而当x∈[1,+∞)时,p+lnx>0,由题意知1x+lnx-1≥(lnx)2p+lnx,即[(p-1)x+1]lnx-px+p≥0,其中x∈[1,+∞).设g(x)=[(p-1)x+1]lnx-px+p,其中x∈[...
