解题规范与评分细则1．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点．②当a>0时，由f′(x)>0解得x>，由f′(x)<0解得0，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.1所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是.3．已知函数f(x)＝.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.解析：(1)解：由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)解：设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|AB|＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x1＋3y1＝3，x2＋3y2＝3.直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y1]x2＋12y1x＋12y1－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.210．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解析：(1)由F2(1,0)，知c＝1，由题意得所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为y＝k(x－4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线x＝x0上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜率k＝－，由得或所以N，由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，所以G，所以G在直线x＝1上．当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，所以Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)·(64k2－12)＞0，得－＜k＜，x1＋x2＝，x1·x2＝，易得直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝(x－2)，当x＝1时，＝得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，所以－＋＝0显然成立，所以G在直线x＝1上．11．已知平面直角坐标系内两定点A(－2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为－.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得MP＝2PN，求以AP为直径的圆的面积的取值范围．解析：(1)由已知，kAC·kBC＝－，即·＝－，所以3x2＋4y2＝24，又三点构成三角形，所以y≠0，所以点C的轨迹E的方程为＋＝1(y≠0)．(2)设点P的坐标为(0，t)当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由MP＝2PN得x1＝－2x2.①联立得得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，当Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6.3所以x1＋x2＝－，x1x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝.则解...
