证明中的转化策略垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言这间的关系，从而将问题解决．线与面垂直关系变化线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面用的是判定定理，而从后面推出前面用的是性质定理，应当灵活应用这些定理证明和求解问题．例1已知：AB平面于B，CD平面，ACCD．求证：平面ABC平面ACD．证明：如图1所示，ABCD，，ABCD（直线与平面垂直性质）．又ACCD，CD平面ABC（直线与平面垂直判定定理）．又CD平面ACD，平面ACD平面ABC（平面与平面垂直性质定理）．例2如图2，ABC△为正三角形，EC平面ABC，BDCE∥，且2CECABD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA．分析：（1）要证明DEDA，只须证明RtRtDFEDBA△≌△；（2）注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；（3）仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．证明：（1）如图2，取EC的中点F，连结DF，易知DFBC∥，ECBC，DFEC．在RtDFE△和RtDBA△中，12EFECBD，FDBCAB，RtRtDFEDBA△≌△，故DEDA．（2）取CA的中点N，连结MNBN，，则12MNEC∥，MNBD∥，即N点在平面BDM内．EC平面ABC，ECBN．又CABN，BN平面ECA．BN在平面MNBD内．平面MNBD平面ECA．（3）DMBN∥，BN平面ECA，DM平面ECA又DM平面DEA，平面DEA平面ECA．说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因用心爱心专心此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直的转化途径进行．创设辅助线与面如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是促进转化的重要环节．例3正方体1111ABCDABCD中，MN，分别是对角线11ABBC，上的点，且11BMCNMANB，求证：MN∥平面1111ABCD．分析：在图3中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？这种情况下我们往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件．证明：（1）由“面面平行线面平行”．如图4，在平面11AABB内，作11MKAB∥，交1BB于K点，连结KN，则易知11BMBKMAKB，而11BMCNMANB已知，11BKCNKBNB，则11KNBC∥，平面MKN∥平面1111ABCD．而MN平面MKN，MN∥平面1111ABCD．（2）添加辅助线，“由线线平行线面平行”．如图5，连结BM并延长交11AB于P点，连结1PC，则可证1BMPAMB△∽△，1BMPMMAMB．又已知11BMCNMANB，1CNPMMBNB，则易得1MNPC∥，而1PC平面1111ABCD，MN∥平面1111ABCD．说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．用心爱心专心
