高考数学复习点拨 证明中的转化策略VIP免费

证明中的转化策略垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言这间的关系，从而将问题解决．线与面垂直关系变化线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面用的是判定定理，而从后面推出前面用的是性质定理，应当灵活应用这些定理证明和求解问题．例1已知：AB平面于B，CD平面，ACCD．求证：平面ABC平面ACD．证明：如图1所示，ABCD，，ABCD（直线与平面垂直性质）．又ACCD，CD平面ABC（直线与平面垂直判定定理）．又CD平面ACD，平面ACD平面ABC（平面与平面垂直性质定理）．例2如图2，ABC△为正三角形，EC平面ABC，BDCE∥，且2CECABD，M是EA的中点，求证：（1）DEDA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA．分析：（1）要证明DEDA，只须证明RtRtDFEDBA△≌△；（2）注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；（3）仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．证明：（1）如图2，取EC的中点F，连结DF，易知DFBC∥，ECBC，DFEC．在RtDFE△和RtDBA△中，12EFECBD，FDBCAB，RtRtDFEDBA△≌△，故DEDA．（2）取CA的中点N，连结MNBN，，则12MNEC∥，MNBD∥，即N点在平面BDM内．EC平面ABC，ECBN．又CABN，BN平面ECA．BN在平面MNBD内．平面MNBD平面ECA．（3）DMBN∥，BN平面ECA，DM平面ECA又DM平面DEA，平面DEA平面ECA．说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因用心爱心专心此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直的转化途径进行．创设辅助线与面如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是促进转化的重要环节．例3正方体1111ABCDABCD中，MN，分别是对角线11ABBC，上的点，且11BMCNMANB，求证：MN∥平面1111ABCD．分析：在图3中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？这种情况下我们往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件．证明：（1）由“面面平行线面平行”．如图4，在平面11AABB内，作11MKAB∥，交1BB于K点，连结KN，则易知11BMBKMAKB，而11BMCNMANB已知，11BKCNKBNB，则11KNBC∥，平面MKN∥平面1111ABCD．而MN平面MKN，MN∥平面1111ABCD．（2）添加辅助线，“由线线平行线面平行”．如图5，连结BM并延长交11AB于P点，连结1PC，则可证1BMPAMB△∽△，1BMPMMAMB．又已知11BMCNMANB，1CNPMMBNB，则易得1MNPC∥，而1PC平面1111ABCD，MN∥平面1111ABCD．说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．用心爱心专心