1.1教材解读一、正弦定理1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC．注：①正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．②正弦定理sinsinsinabcABC可看作是三个方程sinsinabAB，sinsinbcBC，sinsinacAC的合并，每个方程都含有四个量，知其中三个可求第四个量．三个等式的比值是一个定值，这个定值就是ABC△外接圆的直径2R，即有2sinsinsinabcRABC．2．正弦定理的变形变形（1）：2sin2sin2sinaRAbRBcRC，，；变形（2）：sinsinsin222abcABCRRR，，；变形（3）：sinsinsinsinbAcAaBC，sinsinsinsincBaBbCA，sinsinsinsinaCbCcAB；变形（4）：sinsinsinabcABC∶∶∶∶；变形（5）：2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC．注：利用这些变形公式便能实现同一个三角形中边与角的互化，从而有利于问题的转达化与解决．3．正弦定理的应用（1）已知两角和任一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边及其他两角．二、余弦定理1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即2222cosabcbcA①2222cosbcacaB②2222coscababC③注：①余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系；②余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知其中的任意三个量可求出第四个量，于是可将余弦定理的表达式如2222cos0aacBcb看作是以a为未知数的一元二次方程．这样就可以使用一元二次方程的有关知识，使得余弦定理的应用就更为广泛、灵活．2．余弦定理的变形（1）定理的特例：是指当某一内角取特殊值时的特殊形式．主要有：①22290cabC（勾股定理及其逆定理）；注：勾股定理可以看作是余弦定理的特例，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．②22260cababC；③222c120ababC；用心爱心专心④222330cababC；⑤2223150cababC；⑥222245cababC；⑦2222135cababC．（2）定理的推论：222222222coscoscos222bcaacbabcABCbcacab，，．注：①应用以上推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角；②余弦定理及其推论把“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式；③以222cos2abcCab为例，则222abcC为锐角，222abcC为直角，222abcC为钝角；④将正弦定理变形2sinaRA，2sinbRB，2sincRC代入2222coscababC得222sinsinsin2sinsincosCABABC．此公式称为余弦定理的三角式，该公式结构规范，特征明显，易于记忆．运用它可以快捷地解决一类三角函数式的求值问题；⑤将2222cosabcbcA与2222cosbcacaB相加，得222cos2cos0cbcAcaB，即coscoscaBbA．这就是三角形中有名的射影定理．3．余弦定理的应用：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两角．三、解三角形1．解三角形：一般地，把三角形的三个内角ABC，，和它们的对边abc，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．注：我们把正弦定理和余弦定理结合起来，就能很好地解决解三角形的一类问题．2．解三角形的几种基本类型（1）已知一边和两角（设为ABb，，），求另一角及两边，求解步骤；①180()CAB；②由正弦定理得：sinsinbAaB；③由正弦定理得：sinsinbCcB．（2）已知两边及其夹角（设为abC，，），解三角形的步骤：①由余弦定理得：222coscababC；②由正弦定理求ab，中较小边所对的锐角；③利用内角和定理求第三个角．（3）已知两边及一边的对角（设为abA，，），解三角形的步骤：①先判定解的情况；②由正弦定理sinsinbABa，求B；③由内角和定理180()CAB，求C；④由正弦定理或余弦定理求边c．注：已知ab，和A，用正弦定理求B时解的各种情况：...
