第三章三角函数、解三角形3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2015·高考陕西卷)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.由cosα＝sinα可得到cos2α＝0，反之不成立，故选A.答案：A2．(2016·衡阳模拟)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为()A.B.C.D.解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.答案：B3．4cos50°－tan40°＝()A.B.C.D．2－1解析：4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝＝＝·＝.答案：C4．(2016·山东德州一中月考)设α为锐角，若cos＝，则sin＝__________.解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，故sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.答案：－5．(2016·武汉调研)化简－＝________.解析：－＝＝＝＝4.答案：46．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.解析：由于α，β∈，所以<α＋β<2π，<β－<，故cos(α＋β)＝，cos＝－，cos＝cos＝×＋×＝－.答案：－7．已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα·－1.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，求sinα·cosα和sinα－cosα的值．解：(1)f(α)＝sinα－sinα·－1＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα.(2)法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝，即2sinα·cosα＝－，∴sinα·cosα＝－， (sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝，又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，∴sinα－cosα<0.∴sinα－cosα＝－.法二：联立方程解得或 －<α<0，∴即sinα·cosα＝－，sinα－cosα＝－.8．(2014·高考江苏卷)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解：(1)由sinα求出cosα，再用两角和的正弦公式求解；(2)用倍角公式求出sin2α，cos2α，再用两角差的余弦公式求解．(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.[B级能力突破]1．(2016·合肥模拟)已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C.D．－解析：由条件知cos＋sinα＝＋sinα＝＝sin＝.∴sin＝.∴sin＝－sinα－cosα＝－＝－sin＝－.答案：D2．(2016·洛阳高三统考)已知2sinα＋cosα＝，则tan2α＝()A.B.C．－D．－解析： (2sinα＋cosα)2＝3sin2α＋2sin2α＋1＝，∴－cos2α＋2sin2α＝，∴tan2α＝.答案：A3．(2016·成都检测)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或解析： sin2α＝，α∈，∴cos2α＝－且α∈，又 sin(β－α)＝，β∈，∴cos(β－α)＝－，因此，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，且在此范围内角与余弦值一对一，所以α＋β＝，故选A.答案：A4．(2016·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.解析：依题设及三角函数的定义得：cosβ＝－，sin(α＋β)＝.又 0<β<π，∴<β<π，sinβ＝，<α＋β<，cos(α＋β)＝－.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－×＋×＝.答案：5．(2016·鄂州模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sinβ＝sin(2α＋β)，则tanβ的最大值是________．解析：由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，∴tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝， ＋2tanα≥2，∴tanβ的最大值为＝.答案：6．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________...
