2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A级基础巩固一、选择题1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－B.C．2D．6解析：因为a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，所以3×2＋m·(－1)＝0，所以m＝6.答案：D2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2解析：由四边形ABCD为平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(3，－1)，故AD·AC＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝()A．5B．3C．2D．2解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a－b|＝3.答案：B4．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，2)，则a与b的夹角是()A.B.C.D.解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，解得θ＝.答案：C5．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb．若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B．－C.D.解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.答案：A二、填空题6．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且满足：|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：在△ABC中，因为|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，所以△ABC为直角三角形，且BC⊥BA，以BA，BC为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(，0)，C(0，1)，所以a＝BC＝(0，1)，b＝CA＝(，－1)，c＝AB＝(－，0)．所以a·b＋b·c＋a·c＝－1－3＋0＝－4.答案：－417．已知OA＝(－2，1)，OB＝(0，2)，且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标是________．解析：设C(x，y)，则AC＝(x＋2，y－1)，BC＝(x，y－2)，AB＝(2，1)．由AC∥OB，BC⊥AB，得解得所以点C的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．解析：由于a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，且a与b不共线同向．由a·b>0⇒－3λ＋10>0，解得λ<.当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－，因此λ的取值范围是λ<且λ≠－.答案：三、解答题9．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，(1)当x为何值时，使(a＋2b)∥(2a－b)?(2)当x为何值时，使(a＋2b)⊥(2a－b)?解：由a＝(1，2)，b＝(x，1)，得a＋2b＝(2x＋1，4)，2a－b＝(2－x，3)．(1)因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝.(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(2x＋1)(2－x)＋12＝0，解得x＝－2或x＝.10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，(1)试求向量2AB＋AC的模；(2)若向量AB与AC的夹角为θ，求cosθ；(3)求向量AB在AC上的投影．解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，所以AB＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，所以2AB＋AC＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，所以|2AB＋AC|＝＝5.(2)由(1)知AB＝(－1，1)，AC＝(1，5)，所以cosθ＝＝.(3)由(2)知向量AB与AC的夹角的余弦为cosθ＝，且|AB|＝.所以向量AB在AC上的投影为|AB|cosθ＝×＝.B级能力提升1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形2C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)．因为AC·AB＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|AC|＝，|AB|＝，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C2.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA·OB＝0，则向量OB的坐标为________．解析：设B(x，y)，y>0，所以OB＝.答案：3．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝.(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，所以解得k>－或k≠.3
