（广东专版）高考数学二轮复习 第二部分 专题一 函数与导数 专题强化练二 基本初等函数、函数与方程 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题强化练二基本初等函数、函数与方程一、选择题1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A.，0B．－2，0C.D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0.当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：D2．(2018·天津卷)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：c＝log＝log35，a＝log3，由y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，知c＞a＞1.又b＝＜1，故c＞a＞b.答案：D3．(2018·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝lnx(x＞0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.答案：C4．将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10解析：因为5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln，所以f(t)＝a·，因此，当kmin后甲桶中的水只有L时，f(k)＝a·＝a，则＝，k＝10.由题意知，m＝k－5＝5.答案：A5．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2，1)C．(0，2)D．(1，3)解析：当x＜0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．又f(x)＝ln(x＋1)在x≥0上单调递增．则函数f(x)图象如图所示．所以f(x)极大值＝f(－1)＝－1＋3＝2，且f(0)＝0.故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同的零点．答案：C二、填空题6．已知f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．解析：令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x＜0，即a＜0，令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0＜x＜1，即0＜b＜1.令h(x)＝log2x－1＝0，知x＝2，即c＝2.因此c＞b＞a.答案：c＞b＞a7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．答案：a28．(2018·衡水中学检测)已知函数f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数是________．解析：由y＝2f2(x)－3f(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝.作出y＝f(x)的图象(如图)由图象知，f(x)＝0时，方程有2个实根．f(x)＝时，方程有3个实根，故y＝2f2(x)－3f(x)共有5个零点．答案：5三、解答题9．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组得(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．10．(2018·江苏卷节选改编)记f′(x)，g′(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数．若存在x0∈R，满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．(1)证明：函数f(x)＝x与g(x)＝x2＋2x－2不存在“S点”；(2)若函数f(x)＝ax2－1与g(x)＝lnx存在“S点”，求实数a的值．(1)证明：函数f(x)＝x，g(x)＝x2＋2x－2，则f′(x)＝1，g′(x)＝2x＋2.由f(x)＝g(x)且f′(x)＝g′(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点”．(2)解：函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝lnx，则f′(x)＝2ax，g′(x)＝.设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得即(*)得lnx0＝－，即x0＝e－，则a＝＝.当a＝时，x0＝e－满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”．因此，a的值为.