第四章4.54.5.1一、选择题1．下列函数的图象中没有零点的是(D)[解析]从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(D)A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上不一定有实数解．4．函数f(x)＝x＋的零点的个数为(A)A．0B．1C．2D．3[解析]函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A．二、填空题5．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是__0，__.[解析]∵f(x)＝x＋b的零点是2，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝.6．函数f(x)＝的零点的个数为__2__.[解析]当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．三、解答题7．求下列函数的零点．(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x3＋8；(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；(4)y＝.[解析](1)令y＝0，有－x2－x＋20＝0，解得x1＝－5，x2＝4.故所求函数的零点为－5,4.(2)y＝x3＋8＝(x＋2)(x2－2x＋4)．令(x＋2)(x2－2x＋4)＝0，解得x＝－2.故所求函数的零点为－2.(3)令(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝－，x2＝，x3＝1，x4＝2.故所求函数的零点为－，，1,2.(4)由题意知y＝＝.令＝0，解得x＝－6.故所求函数的零点为－6.B组·素养提升一、选择题1．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x－2有零点的一个区间是(C)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]f(1)＝－2＝－<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋－2＝ln3－>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C．2．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(CD)A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)<0，则在(a，b)内的零点个数不确定[解析]根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B错误，D正确；若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错误，C正确．故选CD．二、填空题3．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，则f(x)在R上的零点个数为__0__.[解析]由题知，当x≥0时，f(x)＝lg(x2＋3x＋2)，令lg(x2＋3x＋2)＝0，即x2＋3x＋1＝0，解得x＝(舍去)．因为函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数的零点个数为0.4．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__(，1)__.[解析]画出函数f(x)的图象，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点．由图可知
