高考必考题突破讲座(一)导数及其应用[解密考纲]导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．1．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，若函数F(x)的零点有且只有一个，求实数a的值．解析(1) f′(x)＝lnx＋1，∴当0
时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．①当00)，∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝3，由题意可知，若使y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，则a＝h(x)min＝3.综上，若函数F(x)的零点有且只有一个，则实数a＝3.2．已知函数f(x)＝x·eax＋lnx－e，(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝lnx＋－e，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．解析(1) a＝1，∴f(x)＝xex＋lnx－e，f′(x)＝(x＋1)ex＋，∴f(1)＝0，f′(1)＝2e＋1．∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝(2e＋1)(x－1)．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝xeax－＝在定义域(0，＋∞)上存在两个零点，即x2eax－1＝0在(0，＋∞)上有两个实数根．令φ(x)＝x2eax－1，则φ′(x)＝ax2eax＋2xeax＝xeax(ax＋2)，①当a≥0时，φ′(x)＝xeax(ax＋2)>0，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝φ(x)在(0，＋∞)至多一个零点，不合题意．②当a<0时，令φ′(x)＝0，得x＝－.x－φ′(x)＋0－φ(x)单调递增极大值单调递减 φ(0)＝－1，当x→＋∞，φ(x)→－1，∴要使φ(x)＝x2eax－1在(0，＋∞)上有两个零点，则φ>0即可，得a2<，又a<0，∴－0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1．∴当－30在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．解析(1)由题知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a＜0时，由f′(x)＞0得0＜x＜；由f′(x)＜0得x＞，则当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.(2) xf′(x)－f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴x－(1nx＋ax2)＞0在(0，＋∞)上恒成立，即a＞在(0，＋∞)上恒成立.设h(x)＝＝(x＞0)，则h′(x)＝，由h′(x)＞0得0＜x＜e；由h′(x)＜0得x＜e，故函数h(x)在上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h＝，∴a＞，即实数a的取值范围为.5．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b...
