高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课时提升作业 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

课时提升作业(二十二)平面向量数量积的物理背景及其含义(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·舟山高一检测)若|a|=-1，|b|=+1，a与b的夹角为，则a·b=()A.1B.C.D.2【解析】选B.a·b=|a||b|cos=(-1)×(+1)cos=.2.已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，则|2a-b|=()A.0B.2C.4D.8【解析】选B.|2a-b|====2.3.设a，b，c是三个向量，有下列说法：①若a·b=a·c，且a≠0，则b=c；②若a·b=0，则a=0或b=0；③若a，b反向，则a·b=-|a||b|；④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.①中，a·b-a·c=a·(b-c)=0，又a≠0，则b=c或a⊥(b-c)，即①不正确；②中，a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0，即②不正确；③因为a，b反向，所以a与b的夹角为180°，所以a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|，故③正确；④中，左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边，即④正确.4.(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4.若点M，N满足=3，=2，则·=()A.20B.15C.9D.6【解题指南】结合平面几何知识，利用向量加法法则，用，把，表示出来，再求其数量积.【解析】选C.在平行四边形ABCD内，易得，=+，=-所以·==()2-()2=×36-×16=12-3=9.5.(2015·石家庄高一检测)已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=，且|2a+b|=，则向量a与向量a+b的夹角为()A.B.C.D.π【解析】选B.因为|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7，|a|=1，|b|=，所以4+4a·b+3=7，所以a·b=0，所以a⊥b.如图所示，a与a+b的夹角为∠COA，因为tan∠COA==，所以∠COA=，即a与a+b的夹角为.【补偿训练】(2015·烟台高一检测)已知a，b是平面向量，若a⊥(a-2b)，b⊥(b-2a)，则a与b的夹角是()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意，由于a，b是平面向量，若a⊥(a-2b)，b⊥(b-2a)，则a·(a-2b)=0，即a2-2a·b=0，b·(b-2a)=0，即b2-2a-b=0，所以b2=a2，设a与b的夹角为θ，则cosθ==，所以θ=，即a与b夹角是.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知e为单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为-2，则|a|=________.【解析】因为|a|·cos120°=-2，所以|a|·=-2，所以|a|=4.答案：47.(2014·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα=，若向量a=3e1-2e2，则|a|=________.【解析】因为a·a=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4=9-12×+4=9，所以|a|=3.答案：3【延伸探究】若本题中设b=3e1-e2，a与b夹角为β，则cosβ=________.【解析】cosβ====.答案：8.(2015·汕头高一检测)已知a，b，c都是单位向量，且a+b=c，则a·c=________.【解析】由a+b=c得a-c=-b，两边平方得a2-2a·c+c2=(-b)2，又a，b，c都是单位向量，所以有1-2a·c+1=1，所以a·c=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在平行四边形ABCD中，||=4，||=3，∠DAB=60°.求：(1)·.(2)·.(3)·.【解析】(1)·=||2=9.(2)·=-||2=-||2=-16.(3)·=||||cos(180°-60°)=4×3×=-6.10.已知|a|=1，|b|=.(1)若a，b的夹角为60°，求|a+b|.(2)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.【解析】(1)当a与b的夹角是60°时，a·b=1××cos60°=.|a+b|===.(2)因为(a-b)⊥a，所以(a-b)·a=0，a2-a·b=0，a·b=a2=1，设a与b的夹角为θ，cosθ===，因为0°≤θ≤180°，所以θ=45°.【互动探究】若本题(1)中条件不变，求|(a+b)·(a-2b)|的值.【解析】(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=1--4=-3-.所以|(a+b)·(a-2b)|=3+.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·韶关高一检测)已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3.若=λ+，且⊥，则实数λ的值为()A.B.13C.6D.【解析】选D.由·=(λ+)·(-)=λ·-λ()2+()2-·=0，得-3λ-4λ+9+3=0，解得λ=.【补偿训练】(2015·秦皇岛高一检测)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若·=1，·=-，则λ+μ=()A.B.C.D.【解析】选C.因为∠BAD=120°，所以·=··cos120°=-2.因为BE=λBC，所以=+λ，=μ+.因为·=1，所以·=1，即2λ+2μ-λμ=①，同理可得λμ-λ-μ=-②，①+②得λ+μ=.2.(2015·南安高一检测)如图，过点M(1，0)的直线与函数y=sinπx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点，则·(+)等于()A.1B.2C....