课时作业27函数的零点时间：45分钟分值：100分一、选择题每小题6分，共计36分1．下列说法中正确的个数是()①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．A．1B．2C．3D．4B解析：根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.2．下列函数没有零点的是()A．f(x)＝0B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1D．f(x)＝x－1xB解析：对于选项B，f(x)＝2表示对任意实数x，函数值都等于2，所以不存在x使f(x)＝0，所以f(x)＝2无零点．故选B.3．若函数f(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x2＋4x－5D．f(x)＝x2－1B解析：令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)＝0的根只有x＝1.只有选项B中函数f(x)＝(x－1)2满足．故选B.4．下列各图像表示的函数中没有零点的是()D解析：函数没有零点⇔函数的图像与x轴没有交点．5．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A．0B．1C．－1D．不能确定A解析：∵奇函数的图像关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.6．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，－12B．0，12C．0,2D．2，－12A解析：由f(2)＝0，即2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－12.二、填空题每小题8分，共计24分7．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋x2，x>0的零点为.－3，2解析：令x2＋2x－3＝0，得x1＝1，x2＝－3，又x≤0，∴x＝－3是函数的一个零点，令－2＋x2＝0得x＝±2.又x>0，∴x＝2为函数的零点．综上，函数f(x)的零点为－3，2.8．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为32，则f(1)＝.0解析：因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为32，所以32是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×94－32a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.9．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5；③x1<2且x2>5；④25；⑤x1＋x2＝7.其中错误的有.①②④解析：令g(x)＝(x－2)(x－5)，则f(x)＝g(x)－1，所以函数y＝f(x)的零点就是函数g(x)＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图像交点的横坐标．而g(x)＝(x－2)(x－5)的图像与y＝1的图像在同一坐标系的图像如图所示，结合图像知只有③⑤正确．所以①②④错误．三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．解：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5显然有零点；当m＋6≠0，即m≠－6时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－59.∴当m≤－59且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－59.故m的取值范围是(－∞，－59]．(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－2m－1m＋6，x1x2＝m＋1m＋6.∵1x1＋1x2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2m－1m＋1＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.11．(15分)已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个是正实数，求实数m的取值范围．解：当m＝0时，由f(x)＝－3x＋1＝0得x＝13符合题意．当m≠0时，因为f(0)＝1，所以二次函数的图像过(0,1)点；若m<0，抛物线开口向下，函数f(x)必有一个正零点；若m>0，抛物线开口向上，要想有一个正零点，需满足Δ＝m－32－4m≥0，－m－32m>0，即m2－10m＋9≥0，m－32m<0，解得0b.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围．解：由运算定义可得，f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x>0.作出函数f(x)的图像，如图所示．由图可知，当0
