考点规范练34直接证明与间接证明基础巩固组1.用反证法证明命题:“如果a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除答案B解析因为命题:“如果a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”的否定是a,b都不能被5整除,所以用反证法证明该命题时假设的内容应为a,b都不能被5整除.故选B.2.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案D解析 a>0,b>0,c>0,∴(a+1b)+(b+1c)+(c+1a)=(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)≥6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.3.已知p=√ab+√cd,q=√ma+nc·√bm+dn(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小关系为()A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定答案B解析q=√ab+madn+nbcm+cd≥√ab+2√abcd+cd=√ab+√cd=p.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)0,即cos(A+C)>0,则A+C是锐角,1从而B>π2,故△ABC必是钝角三角形.6.已知√2+23=2√23,√3+38=3√38,√4+415=4√415,…,若√6+at=6√at(a,t均为正实数),类比以上等式可推测出a,t的值,则a+t=.答案41解析按题中的等式可推测出a=6,t=a2-1=35,则a+t=6+35=41.7.设a,b,c是不全相等的实数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b,ab2+c2解析由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc<0,则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.能力提升组9.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③D.③④⑤答案C解析若a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.10.已知x为正实数,不等式x+1x≥2,x+4x2≥3,x+27x3≥4,…,可推广为x+axn≥n+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22(n-1)D.nn答案D2解析因为第一个式子中a=11,第二个式子中a=4=22,第三个式子中a=27=33,所以猜想第n个式子中a=nn.故选D.11.已知函数f(x)=(12)x,a,b是正实数,A=f(a+b2),B=f(√ab),C=f(2aba+b),则A,B,C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A答案A解析因为a+b2≥√ab≥2aba+b,又f(x)=(12)x在R上是减函数,所以f(a+b2)≤f(√ab)≤f(2aba+b).12.设x,y,z均大于0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2答案C解析因为x>0,y>0,z>0,所以(yx+yz)+(zx+zy)+(xz+xy)=(yx+xy)+(yz+zy)+(xz+zx)≥6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2.13.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下说法正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确;②的假设错误D.①的假设错误;②的假设正确答案D解析反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.14.如果1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a=,b=,c=.答案121414解析 等式1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一...
