大题专项练习(八)不等式选讲1．[2018·江西抚州临川最后一模]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求函数f(x)的最小值；(2)如果关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集，求实数a的取值范围．2．[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．3．[2018·四川双流中学二模]已知f(x)＝|x－2|＋1－λ(λ∈R)，f(x＋2)≥0的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(1)求实数λ的值．(2)若关于x的不等式f(x)＋|x－a|≥0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．4．[2018·郑州外国语学校调研]已知函数f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|(a为正实数)，g(x)＝x2－2x－4＋.(1)若f(2a2－1)>4|a－1|，求实数a的取值范围；(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．5．[2018·青海西宁二模]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|.(1)若f(x)≤－m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，设m的最大值为M0，a，b，c均为正实数，当3a＋4b＋5c＝M0时，求a2＋b2＋c2的最小值．6．[2018·江西师大附中三模]已知函数f(x)＝＋，其中a，b为正实数．(1)若a＝b＝1，求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为1，问是否存在正实数a，b，使得不等式a＋4b≤16能成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．大题专项练习(八)不等式选讲1．解析：(1)当a＝2时，知f(x)＝|x－2|＋|x＋1|≥|x－2－x－1|＝3，当(x－2)(x＋1)≤0，即－1≤x≤2时，等号成立，∴f(x)的最小值是3.(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|a＋1|，若关于x的不等式f(x)<2的解集不是空集，则|a＋1|<2，即－3
4|a－1|，得|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，∴|a－1|(|2a|＋|a＋1|)>4|a－1|，当a－1＝0时，不等式不成立，∴|a－1|>0，∴|2a|＋|a＋1|>4，且a≠1，又a>0，∴2a＋a＋1>4，∴a>1.∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．(2)g(x)＝(x－1)2＋－5≥2－5＝－1，g(x)min＝－1，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需使f(x)min≤1，∴f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2，又a>0，∴a的取值范围是(0,2]．5．解析：(1)不等式f(x)≤－m2＋6m可化为|x＋1|－|x－4|≤－m2＋6m，∵|x＋1|－|x－4|≤|x＋1－(x－4)|＝5，∴－m2＋6m≥5，∴1≤m≤5，∴实数m的取值范围为[1,5]．(2)由(1)可知，M0＝5，∴3a＋4b＋5c＝5，由(a2＋b2＋c2)(9＋16＋25)≥(3a＋4b＋5c)2，∴a2＋b2＋c2≥.∴a2＋b2＋c2的最小值为.6．解析：(1)若a＝b＝1，∴f(x)＝|x＋4|＋|x－1|，当x≤－4时，－(x＋4)－(x－1)≤6，∴－≤x≤－4，当－41时，x＋4＋x－1≤6，∴1
