第4讲数列求和一、选择题1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为()A．－200B．－100C．200D．100解析：选D.由题意知S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为()A．990B．1000C．1100D．99解析：选A.n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.3．Sn＝＋＋＋…＋等于()A．B.C．D.解析：选B.由Sn＝＋＋＋…＋，①得Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，所以Sn＝.4．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()A．120B．99C．11D．121解析：选A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.5.＋＋＋…＋的值为()A．B.－C．－D.－＋解析：选C.因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝＝＝－.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2019的值为()A．1008B．10091C．1010D．1011解析：选C.因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2019＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2018＋a2019)＝1010，故选C.二、填空题7．(2018·合肥第二次质量检测)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________．解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝210－2＝1022.答案：10228．(2018·武昌调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9项和为________．解析：由Sn≤S5得，即，得－≤d≤－，又a2为整数，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)×d＝11－2n，＝，所以数列的前n项和Tn＝＝，所以T9＝－×＝－.答案：－9．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前20项的和等于________．解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前20项的和等于S20＝10×＝15.答案：1510．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________．解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1，所以2Sn＝＋[f＋f]＋…＋＝n－1.所以Sn＝.答案：三、解答题11．设数列{an}满足：a1＝5，an＋1＋4an＝5(n∈N*)．(1)是否存在实数t，使{an＋t}是等比数列？(2)设bn＝|an|，求{bn}的前2013项的和S2013.解：(1)由an＋1＋4an＝5，得an＋1＝－4an＋5.令an＋1＋t＝－4(an＋t)，得an＋1＝－4an－5t，所以－5t＝5，所以t＝－1.从而an＋1－1＝－4(an－1)．又因为a1－1＝4，所以an－1≠0.所以{an－1}是首项为4，公比为－4的等比数列．所以存在实数t＝－1，使{an＋t}是等比数列．(2)由(1)得an－1＝4×(－4)n－1⇒an＝1－(－4)n.所以bn＝|an|＝所以S2013＝b1＋b2＋…＋b2013＝(1＋41)＋(42－1)＋(1＋43)＋(44－1)＋…＋(1＋42013)2＝41＋42＋43＋…＋42013＋1＝＋1＝.12．(2018·广西三市第一次联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(1－an)log3(a·an＋1)，求数列{}的前n项和Tn.解：(1)因为6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)，所以当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，当n≥2时，6an＝6(Sn－Sn－1)＝2×3n，即an＝3n－1，所以{an}是等比数列，所以a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a·an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝.1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即＝2(n≥2，n∈N*)，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．(2)令bn＝＝，则Tn＝＋＋＋…＋，①①×，得Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②，得Tn＝－，整理得Tn＝3－.2．已知Sn...
