专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围一、能力突破训练1
已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R
(1)若a0成立
令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-
令g'(x)=0,解得x=1
当01时,g'(x)0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)上的增函数
n>m>1,∴h(n)>h(m),即>,∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn
整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n
∴(mnn)m>(nmm)n,∴>
已知函数f(x)=lnx-,其中a∈R
(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+没有公共点,求k的取值范围
解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=, 当0x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立
求m(m∈Z,m≤1)的值
解(1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即alnx+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-lnx)≥x2-x
由x∈[1,e]知x-lnx>0,因而a≥
设y=,则y'==
当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-lnx>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立
由不等式有解,可得a≥ymin=-,即实数a的取值范围是
(2)当a=1时,f(x)=lnx
由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)
