课下能力提升(二十)从力做的功到向量的数量积一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的射影是，则a·b＝()A．3B.C．2D.2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝()A.B.C.D.3．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是()A.B.C.D.4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0二、填空题5．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝________．6．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，且|2a＋b|＝，则向量a与a－2b的夹角为________．7．已知e1，e2是夹角为的单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________．8．设a，b，c是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a|＋|b|>|a＋b|；②若a≠0，a·b＝0，则b＝0；③向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；④若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)三、解答题9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．答案1．解析：选B设a，b的夹角为θ(0≤θ≤π)依题意，|a|cosθ＝，而|b|＝3.∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×＝.2．解析：选B∵|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－4×＋4＝3，∴|a＋2b|＝.3．解析：选C设向量a与向量b的夹角为θ(0≤θ≤π)，由条件得a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3＝|a||b|cosθ＝1×6×cosθ，所以cosθ＝，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.4．解析：选D∵a⊥c，∴a·c＝0.∵a∥b，∴b⊥c.∴b·c＝0，∴c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.5．解析：由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2得16＝1－2a·b＋9，2a·b＝－6∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4|a＋b|＝2.答案：26．解析：由|2a＋b|＝得，4|a2|＋4a·b＋|b|2＝10，∴4·12＋4a·b＋22＝10，∴a·b＝，∴a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝1－2×＝0.故a⊥(a－2b)，即a与a－2b的夹角为90°.答案：90°7．解析：∵a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k＋(1－2k)×1×1×cos－2＝2k－＝0，∴k＝.答案：8．解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a≠0，a·b＝0可得b＝0或a⊥b；③错误，a·b>0时a与b可以同向；④错误，|b|cosθ表示b在a方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①9．解：由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4得a·b≥6，∴cosθ＝＝≥＝.又θ∈[0，π]，∴θ∈.10．解：∵a⊥b，∴a·b＝0，又由已知得[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0)．故当t＝时，k取最小值－.
