高考数学大一轮复习 板块命题点专练（十）文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

板块命题点专练（十）命题点一合情推理与演绎推理命题指数：☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2．答案：F＋V－E＝22．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A3．(2015·陕西高考)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为_________________________________________．解析：等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋．答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋命题点二直接证明与间接证明命题指数：☆☆☆☆难度：高、中题型：解答题1．(2014·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2．(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n．所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．2．(2015·北京高考节选)已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记1集合M＝{an|n∈N*}．(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．解：(1)6,12,24．(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．由an＋1＝可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．命题点三数学归纳法命题指数：☆☆难度：高题型：解答题(2015·陕西高考)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则Fn(1)＝n－1＞0，Fn＝1＋＋2＋…＋n－2＝－2＝－＜0，所以Fn(x)在内至少存在一个零点．又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn．因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，即－2＝0，故xn＝＋x．(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，gn(x)＝，x＞0．当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立．②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．那么，当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝．又gk＋1(x)－＝，令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1·(x－1)．所以当0＜x＜1时，hk′(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；当x＞1时，hk′(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．2所以hk(x)＞hk(1)＝0，从而gk＋1(x)＞．故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．3