正弦函数、余弦函数的性质(一)(15分钟35分)1.函数f(x)=cos的周期为()A.B.C.πD.2π【解析】选C.(方法一：定义法)因为f(x)=cos=cos=cos=f(x+π)，即f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)=cos的周期T=π.(方法二：公式法)因为y=cos，所以ω=2.又T===π.所以函数f(x)=cos的周期T=π.【补偿训练】函数y=sin，x∈R的周期为_______.【解析】因为sin=sin=sin，由周期函数的定义知，y=sin的周期为6π.答案：6π2.函数f(x)=sin(-x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.由于x∈R，且f(-x)=sinx=-sin(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.3.函数y=sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A.0B.C.D.π【解析】选C.由题意得sinφ=±1.因为φ∈[0，π]，所以φ=.故选C.4.函数f(x)=xsin()A.是奇函数B.是非奇非偶函数C.是偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.由题意得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)=xsin=xcosx，所以f(-x)=(-x)·cos(-x)=-xcosx=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数.5.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=，且f(1)=，则f(2020)=_______.【解析】因为f(x+6)==f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(2020)=f(4)==2.答案：26.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=-2cos3x；(2)f(x)=xsin(x+π).【解析】(1)函数的定义域为R，且f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x)，所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)函数的定义域为R，且f(x)=xsin(x+π)=-xsinx，所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x).故为偶函数.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.下列函数中最小正周期为π的偶函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=cosxD.y=cos2x【解析】选D.A中函数是奇函数，B、C中函数的最小正周期不是π，只有D符合题目要求.2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选B.由x∈R，f(-x)=f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.由f(x+2)=f(x)，得f(x)的周期为2.3.设函数f(x)=sinx，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)=()A.B.-C.D.0【解析】选A.因为f(x)=sinx的周期T==6，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)+f(2020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)=336sin+sinπ+sinπ+sinπ+sinπ+sin2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin+sinπ+sinπ+sinπ=.4.函数y=xcosx-sinx的部分图象大致为()【解析】选C.函数y=f(x)=xcosx-sinx满足f(-x)=-f(x)，又x∈R，则该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；当x=π时，y=f(π)=πcosπ-sinπ=-π<0，故排除A；又因为f()=cos-sin=<0，故排除D.【误区警示】解决此类问题时，注意不要看过题目后，就自己直接画图，那样难度是很大的，要想办法利用特殊值、奇偶性，根据题目的选择项等寻找答案.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)以下说法中，正确的是()A.对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B.存在φ，使f(x)是偶函数C.存在φ，使f(x)是奇函数D.对任意的φ，f(x)都不是偶函数【解析】选BC.因为f(x)=sin(x+φ)，所以当φ=0时，f(x)=sinx，是奇函数，当φ=时，f(x)=cosx是偶函数.6.下列函数中，周期为π的是()A.y=sin2xB.y=cos(-3x)C.y=|sinx|D.y=|cos2x|【解析】选AC.对于选项A，根据公式T==π，A正确；对于选项B，根据公式T==π，B错误；对于选项C，D，画出函数的图象，即可马上得到选项C是正确的，D是不正确的.三、填空题(每小题5分，共10分)7.若f(x)=cosx，则f(1+)-f=_______.【解题指南】根据f(x)的解析式判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性化简.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f=f=f=f(-(1+))=f(1+)，所以f(1+)-f=f(1+)-f(1+)=0.答案：0【补偿训练】f(x)=sinxcosx是_______(填“奇”或“偶”)函数.【解析】因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x)，即f(x)是奇函数.答案：奇8.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)=1，则f(-35)=_______，f(5)=_______.【解析】由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(-35)=f(-35+6×6)=f(1)=1，f...
