5.4数列求和[课时跟踪检测][基础达标]1．已知数列{an}是等差数列，a1＝tan225°，a5＝13a1，设Sn为数列{(－1)nan}的前n项和，则S2014＝()A．2015B．－2015C．3021D．－3022解析：由题知a1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a5＝13∴d＝＝＝3.∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.设bn＝(－1)nan＝(－1)n(3n－2)，∴S2014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6037＋6040)＝3×1007＝3021.故选C.答案：C2．设{an}是公差不为零的等差数列，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝()A.＋B．＋C.＋D．＋解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a＝a1a9得(a2＋d)2＝(a2－d)(a2＋7d)，代入a2＝2，解得d＝1或d＝0(舍)．∴an＝2＋(n－2)×1＝n，∴Sn＝＝＝＋.故选D.答案：D3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝()A．29B．31C．33D．36解析：设等比数列{an}的公比为q则aq3＝2a1，①a1q3＋2a1q6＝，②解得a1＝16，q＝，∴S5＝＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝.(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{bn}的公差为d， a3＋S3＝27，q＝，∴求得q＝3，d＝3，∴an＝3n－1，bn＝3n.(2)由题意得Sn＝，cn＝＝××＝－.∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.5．(2017届广州综合测试)已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.解：(1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.6．Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.7．已知数列{an}与{bn}满足an＋1－an＝2(bn＋1－bn)(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝3n＋5，求数列{an}的通项公式；(2)若a1＝6，bn＝2n(n∈N*)且λan>2n＋n＋2λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为an＋1－an＝2(bn＋1－bn)，bn＝3n＋5，所以an＋1－an＝2(bn＋1－bn)＝2(3n＋8－3n－5)＝6，所以{an}是等差数列，首项为1，公差为6，即an＝6n－5.(2)因为bn＝2n，所以an＋1－an＝2(2n＋1－2n)＝2n＋1，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋6＝2n＋1＋2，当n＝1时，a1＝6，符合上式，所以an＝2n＋1＋2，由λan>2n＋n＋2λ得λ>＝＋，令f(n)＝＋，因为f(n＋1)－f(n)＝－＝≤0，所以＋在n≥1时单调递减，所以当n＝1,2时，取最大值，故λ的取值范围为.[能力提升]1．已知数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由已知得＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.a1＝1＝4×1－3，所以an＝4n－3，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)．当n为偶数时，Tn＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n－7)＋(4n－3)]＝4×＝2n，当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2(n＋1)－...
