第三节等比数列及其前n项和A组基础题组1.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1=()A.1B.±1C.2D.±22.已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a2·a4=16,S3=7,则a8=()A.32B.64C.128D.2563.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·2n-1+,则a的值为()A.-B.C.-D.4.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.(2017广东广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是()A.B.C.D.6.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=.7.(2017东北四市模拟)等比数列{an}的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=.8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若27a3-a6=0,则=.9.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.10.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.1B组提升题组1.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12B.13C.14D.152.在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于()A.3B.4C.5D.63.(2018云南昆明质检)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.4.设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值;(2)证明:为等比数列.2答案精解精析A组基础题组1.A因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4==8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,则a1==1,故选A.2.C由题意及等比数列的性质知a2·a4==16,∵an>0,∴a3=4,∵a3=a1q2=4,S3=7,∴S3==7,S2==3,∴3q2-4q-4=0,解得q=-或q=2,∵an>0,∴q=2,∴a1=1,∴a8=27=128.3.A当n≥2时,Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,∴an=a·2n-2.当n=1时,a1=S1=a+,所以a+=,所以a=-.4.B由题意可设,由上到下灯的盏数为a1,a2,a3,…,a7构成以2为公比的等比数列,∴S7==381,∴a1=3.故选B.5.A设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),由======.故选A.6.答案63解析由等比数列的性质得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.7.答案30解析由题意得,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,所以2a3-a2-6a1=0.设{an}的公比为q(q>0),则2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,解得q=2或q=-(舍去).因为a4=16,所以a1=2,则S4==30.8.答案28解析设等比数列{an}的公比为q.∵27a3-a6=0,即a6=a3q3=27a3,∴q3=27,∴===1+q3=1+27=28.9.解析(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).3∵a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴an+2an-1≠0(n≥2),∴=3(n≥2),∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).∵a1-3=2,∴an-3n≠0,∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n.10.解析(1)设{an}的公比为q,由题设可得解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.B组提升题组1.C设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,由于an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14.2.A因为{an}为等比数列,所以a3·an-2=a1·an=64,又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,解得或又因为{an}是递增数列,所以由Sn===42,解得q=4,由an=a1qn-1=2×4n-1=32,解得n=3,故选A.3.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得d===3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得4q3===8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1.所以数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n-1.4.解析(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得a4=,又a2=,a3=,所以a4=.(2)证明:当n≥2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1,所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),即an+2=an+1-an(n≥2).经检验,当n=1时,上式成立.因为===为常数,且a2-a1=1,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.5
