课时训练14空间向量的数乘运算1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若=x-2y+3z,则x+y+z等于().A.B.C.D.1答案:C解析:由于,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-,z=,从而x+y+z=.2.下列命题中正确命题的个数是().①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面.③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.A.0B.1C.2D.3答案:A解析:①中当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面即可,故②错误;③当b为零向量,a为非零向量时,λ不存在.3.已知两个非零向量e1,e2不共线,若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则().A.A,B,C,D四点共面B.A,B,C,D四点不共面C.A,B,C,D四点共线D.以上都不对答案:A解析:因为=2e1+8e2+3e1-3e2=5e1+5e2=5.因此向量与,是共面向量,即A,B,C,D四点共面.4.已知G为正方形ABCD的中心,点P为正方形ABCD所在平面外一点,则等于().A.4B.3C.2D.答案:A解析:=()+()=2+2=4.5.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则()等于().A.B.C.D.答案:A解析:()=×(2)=.6.已知两个非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ2+μ2≠0),则().A.a∥e11B.a∥e2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能答案:C解析:由已知μ,λ均不为0,则由共面向量定理得a,e1,e2共面.7.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,=x,则x的值为.答案:解析:因为M在平面ABC中,即M,A,B,C四点共面,所以x+=1,即x=.8.已知O是空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=.答案:-1解析:∵A,B,C,D四点共面,∴=m+n+p,且m+n+p=1.由条件知=(-2x)+(-3y)+(-4z),∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1,∴2x+3y+4z=-1.9.已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且,.求证:四边形EFGH是梯形.证明:∵E,H分别是AB,AD的中点,∴,,()=()=()=,∴且||=|≠||.又点F不在上,∴四边形EFGH是梯形.10.已知斜三棱柱ABC-A'B'C',设=a,=b,=c,在面对角线AC'上和棱BC上分别取点2M,N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:与向量a、c共面.证明:由于-k+k-k()=+k()-k()=a+k(b-a)-k(c+b)=a+kb-ka-kc-kb=(1-k)a-kc,又a与c不共线,所以与a,c共面.3
