综合模拟练021．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）证明：.（2）若的面积，为线段的中点，，求.【答案】（1）见解析；（2）4【解析】试题分析：(1)由正弦定理化角做，同时运用，及和角公式可解。（2）在和中由及的余弦定理，及，得到一个只关于边的等式，可求的c.（2）因为所以.在中，，在中，，又，则，由，代入数据得，得c=4.【点睛】在解三角形题型中，常见三角形中有一条分角线时，利用这条线与边产生的两个角互补是一个常用处理方式，这样可以建立一个只关于边长的等式。2．如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，.现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2)点到平面的距离为.（1）证明：因为二面角的大小为90°，则，又，故平面，又平面，所以；在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即；又，故平面，因为平面，故.点睛：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查等体积法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．其中证明线线垂直，一是将异面直线平移到同一平面；二是可以证线面平行，进而推得线线垂直；三可以建系正方向向量垂直。求点到面的距离，可以等体积转化，也可以建系运用公式求得结果。3．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品．表是甲流水线样本的频数分布表，图是乙流水线样本的频率分布直方图．表：甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数图：乙流水线样本频率分布直方图（Ⅰ）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：（其中样本容量）【答案】（1）（2），．（3）没有的把握【解析】试题分析：（1）根据中位数对应概率为0.5，列式，解方程可得中位数（2）根据概率等于频数与总数的比值先估计甲乙流水线生产的产品为不合格品的概率，再求件产品中不合格品的数量（3）将数据代入卡方公式计算，再与参考数据比较确定把握性（Ⅲ）列联表：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计则，因为，所以没有的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．4．设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率的值；（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）椭圆的方程为.;（2）.所以，解得.因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，由直线的斜截式得直线的方程为.联立直线的方程与直线的方程，设，可解得点M的横坐标，在中，由大边对大角得，由两点间的距离公式得，化简得，即，解不等式可得，或.（2）解：设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由方程组，消去，得，解得，或，由题意得，从而.由（1）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组，消去，解得，在中，，即，化简得，即，解得，或.所以，直线的斜率的取值范围为.【点睛】1、求椭圆的方程就是求的值，从条件中找的关系，注意的运用；2、求离心率是求的值，或找的关系；3、在中，由大边对大角得，由点M是直线与直线的交点，故根据条件设两直线的方程，求交点坐标，根据得关于直线的斜率为的不等式求解。5．已知函数.（1）求的单调性；（2）设，若关于的方程有解，求的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，单...
