2017高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第5讲直接证明与间接证明习题A组基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是()A．a－b＞0B.a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0[答案]C[解析]＜a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.故选C.3．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列[答案]B[解析]由已知条件，可得由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B.恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负[答案]A[解析]由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.5．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．②③B.①②③C．③D．③④⑤[答案]C[解析]若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形[答案]D[解析]由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．所以△A2B2C2是钝角三角形．二、填空题7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________.[答案]a，b中没有一个能被5整除[解析]“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．8．设a＞b＞0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________.[答案]m＜n[解析]法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得m＜n.法二：(分析法)－＜⇐＋＞⇐a＜b＋2·＋a－b⇐2·＞0，显然成立．9．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________.[答案]cn＋1＜cn[解析]由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________.[答案](－3，)[解析]法一：(补集法)令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的范围为(－3，)．法二：(直接法)依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，得－＜p＜1或－3＜p＜.故满足条件的p的取值范围是(－3，)．三、解答题11．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.[证明]要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证＜，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d...
