课时跟踪检测（十一）空间几何体的体积层级一学业水平达标1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，则该圆锥的体积为()A.πB.πC.πD.π解析：选C设圆锥侧面展开图的弧长为l，则l＝＝.设圆锥的底面半径为r，则＝2πr，r＝.V＝·2·＝·＝π.2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为()A．π∶4B．4∶πC．1∶1D．π2∶4解析：选A设正方体棱长为1，则S正方体侧＝S圆柱侧＝4，设圆柱的底面半径为r，则2πr×1＝4，r＝，V正方体＝1，V圆柱＝π2·1＝.∴V正方体∶V圆柱＝π∶4.3．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为()A．4∶9B．9∶4C．4∶27D．27∶4解析：选C设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则πr3＝π(3r)2h，解得h＝r，所以圆锥的高与底面半径之比为.4．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.B．4πC．2πD.解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D.5.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为()A．16B．8C．4D.解析：选B设AB＝a，AA1＝b，由×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又×a2＝6.解得a2＝8.可得a＝2，b＝4，∴V＝×8×4＝8.6．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V＝V大圆锥－V小圆锥＝π()2(1＋1.5－1)＝π.答案：π7．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.答案：8．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r＝，∴其体积V＝π·()3＝.答案：9.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD的体积．解：(1)证明：因为PH是四棱锥PABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝，所以HA＝HB＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝1，可得PH＝.等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.10．已知正四棱台两底面面积分别为80cm2和245cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35cm，求正四棱台的体积．解：如图，SO＝35，A′O′＝2，AO＝，由＝，得SO′＝＝20.∴OO′＝15.∴V正四棱台＝×15×(80＋＋245)＝2325.即正四棱台的体积为2325cm3.层级二应试能力达标1.已知正三棱锥SABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶4解析：选C两锥体高相等，因此VSBCED∶VSABC＝SBCED∶SABC＝3∶4.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，那么多面体EFBB1C1C的体积为()A．30B．18C．15D．12解析：选A△ABC中，BC边上的高h＝＝2，V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，∴VEABC＋VFA1B1C1＝V柱＝6，故VEFBB1C1C＝36－6＝30.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3解析：选A如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π(cm3)．4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C．2πD．4π解析：选B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所...
