第2节等差数列及其前n项和[A级基础巩固]1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析：法一设等差数列{an}的公差为d，依题意解得d＝4.法二等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，所以d＝4，故选C.答案：C2．(2020·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝()A．60B．56C．12D．4解析：因为在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，所以a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，(a3＋a7)2－a5＝(2a5)2－a5＝64－4＝60.答案：A3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S3＝6，则S2n＋1＝()A．(2n＋1)(n＋1)B．(2n＋1)(n－1)C．(2n－1)(n＋1)D．(2n＋1)(n＋2)解析：设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋d＝3，3a1＋3d＝6，所以a1＝d＝1，则an＝1＋(n－1)×1＝n.因此S2n＋1＝＝(2n＋1)(n＋1)．答案：A4．(2020·宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则()A．a7＝0B．|a7|＝|a8|C．|a7|>|a8|D．|a7|<|a8|解析：因为公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，所以S9>S8，所以S80，所以a7<0，a7＋a8>0，|a7|<|a8|.答案：D5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是()A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，1所以8a1＋×17＝996，解得a1＝65.所以a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤．答案：B6．(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．解析：设数列{an}的公差为d，则解得a1＝－5，d＝2，所以S8＝8×(－5)＋×2＝16.答案：167．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.答案：2008．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝________．解析：根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，2a1＋2a13＝4a7＝2π，所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.答案：09．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明：依题意得，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列是等差数列．设数列的公差为d.因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，所以－＝5＝5d，即d＝1，故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，故an＝.(2)解：由(1)可知bn＝＝·＝，故Sn＝＝.10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，2则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.[B级能力提升]11．(2020·珠海联考)已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}()A．既非等差数列，又非等比数列B．既是等差数列，又是等比数列C．仅为等差数列D．仅为等比数列解析：数列{an}中，＝，则＝(n≥2)，则Sn＝××…××S1＝××…××1＝n(n≥2)，当...
