高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

3计算导数[A组基础巩固]1．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：由题意知，直线l的斜率为4，且y′＝4x3，令4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.故选A.答案：A2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值是()A．－4B．4C．±4D．不确定解析：f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.答案：B4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A．1B.C．－D．－1解析：因为y′＝2ax，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.又由题设条件知切线的斜率为2，即2a＝2，即a＝1，故选A.答案：A5．(2016·高考全国甲卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：求得(lnx＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.设曲线y＝lnx＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，则k＝＝，所以x2＋1＝x1.又y1＝lnx1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝lnx1，所以k＝＝2，所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln2，所以b＝y1－kx1＝2－ln2－1＝1－ln2.答案：1－ln26．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，1即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.答案：1或－7．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.解析：由y＝lnx，得y′＝，令＝，得x＝2，故切点为(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝×2＋b，所以b＝ln2－1.答案：ln2－18．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)．①任何常数函数的导数都是零；②直线y＝x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③双曲线y＝上任意一点处的切线斜率都是负值；④直线y＝2x和抛物线y＝x2在x∈(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快．答案：①②③9．在曲线y＝f(x)＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.解析：设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan135°＝－1，即－2x＝－1，∴x0＝2.代入曲线方程得y0＝2－，∴点P的坐标为(2，2－)．10．求过曲线y＝cosx上一点P(，)，且与曲线在P点处的切线垂直的直线方程．解析：因为点P在曲线上，y′＝(cosx)′＝－sinx，所以曲线在点P(，)处的切线的斜率为k1＝y′|x＝＝－sin＝－，因为所求直线和该切线垂直，所以所求直线的斜率为k2＝－＝，所以所求直线方程为y－＝(x－)，即x－y＋－π＝0.[B组能力提升]1．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－]B．[－1,0]C．[0,1]D．[，1]解析：设切点P的横坐标为x0，曲线C在点P处切线的斜率k＝y′＝2x0＋2，若α为点P处切线的倾斜角，则tanα＝2x0＋2， α∈[0，]，∴0≤2x0＋2≤1，∴x0∈[－1，－]．答案：A2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：y′＝ex，则切线斜率为e2，设此切线方程为y＝e2x＋b，把(2，e2)代入，得e2＝2e2＋b，b＝－e2，则切线方程为y＝e2x－e2，与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点是(0，－e2)，则与坐标轴所围三角形的面积为×1×e2＝.答案：D3．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.解析：因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x＞0，2f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.答案：14．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：因为y′＝(n＋1)xn，y′|x＝1＝n＋1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，则xn＝，故an＝lg＝lgn－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg98－lg99)＋(lg99－lg100)＝－2.答案：...