限时集训（二十一）坐标系与参数方程基础过关1.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθsin2θ,C2的参数方程为{x=2−❑√22t,y=2+❑√22t(t为参数).(1)写出曲线C1的直角坐标方程与C2的普通方程;(2)若C1与C2相交于A,B两点,求|AB|.2.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=−1+tcosα,y=1+tsinα(t为参数).以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2.(1)写出直线l经过的定点的直角坐标,并求曲线C的直角坐标方程;(2)若α=π4,求直线l的极坐标方程以及直线l与曲线C的交点的极坐标.3.已知过点P(-1,0)的直线l与曲线C:{x=❑√22cosφ,y=❑√33sinφ(φ为参数)交于不同的两点A,B.(1)写出曲线C的普通方程;(2)求|PA|·|PB|的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=2❑√3cosα,y=2sinα(α为参数,α∈(0,π)).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为(4❑√2,π4),直线l的极坐标方程为ρsin(θ-π4)+5❑√2=0.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,求点M到直线l的距离的最大值.能力提升5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:x24+y2=1,曲线C2:{x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ为参数).以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)射线l的极坐标方程为θ=α(ρ≥0),若l分别与C1,C2交于异于极点的A,B两点,求|OB||OA|的最大值.6.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为{x=2+rcosθ,y=1+rsinθ(θ为参数,r>0),曲线N的参数方程为{x=2❑√55t,y=1+❑√55t(t为参数,且t≠0).(1)以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数,写出曲线N的参数方程;(2)若曲线M与N的两个交点为A,B,直OA与直线OB的斜率之积为43,求r的值.限时集训(二十一)基础过关1.解:(1)易得曲线C1的直角坐标方程为y2=2x,C2的普通方程为x+y=4.(2)将C2的参数方程代入C1的方程y2=2x中,得(2+❑√22t)2=2(2−❑√22t),即12t2+3❑√2t=0,解得t1=0,t2=-6❑√2,这里t1,t2分别是A,B对应的参数,∴|AB|=|t1-t2|=6❑√2.2.解:(1)直线l经过的定点的直角坐标为(-1,1).由ρ=ρcosθ+2得ρ2=(ρcosθ+2)2,可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=(x+2)2,化简得y2=4x+4.(2)由α=π4,得直线l的参数方程为{x=−1+❑√22t,y=1+❑√22t,消去参数t,得直线l的普通方程为y=x+2,即直线l的直角坐标方程为y=x+2.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2,与曲线C的极坐标方程ρ=ρcosθ+2联立,得ρ=ρsinθ.∵ρ≠0,∴sinθ=1,取θ=π2,得ρ=2,∴直线l与曲线C的交点的极坐标为(2,π2).3.解:(1)消去参数φ,得曲线C的普通方程为x212+y213=1,即2x2+3y2=1.(2)设直线l的参数方程为{x=−1+tcosα,y=tsinα(t为参数,α为直线l的倾斜角),代入2x2+3y2=1中,得(2cos2α+3sin2α)t2-4tcosα+1=0.设A,B对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=4cosα2cos2α+3sin2α,t1t2=12cos2α+3sin2α,由Δ>0,得0≤tan2α<23.所以|PA|·|PB|=|t1t2|=12cos2α+3sin2α=sin2α+cos2α2cos2α+3sin2α=1+tan2α2+3tan2α=13×1+13tan2α+23∈(512,12],即|PA|·|PB|的取值范围是(512,12].4.解:(1)直线l的极坐标方程为ρsinθ-π4+5❑√2=0,即ρsinθ-ρcosθ+10=0.将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,可得直线l的直角坐标方程为x-y-10=0.将曲线C的参数方程{x=2❑√3cosα,y=2sinα消去参数α,得曲线C的普通方程为x212+y24=1(y>0).(2)设Q(2❑√3cosα,2sinα)(0<α<π),将点P的极坐标(4❑√2,π4)化成直角坐标为(4,4),则M(❑√3cosα+2,sinα+2).∴点M到直线l的距离d=|❑√3cosα-sinα-10|❑√2=|2sin(α-π3)+10|❑√2≤6❑√2,当sin(α-π3)=1,即α=5π6时,等号成立,∴点M到直线l的距离的最大值为6❑√2.能力提升5.解:(1)C1:x2+4y2=4,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1的极坐标方程为ρ2(3sin2θ+1)=4.C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.(2)设A(ρA,α),B(ρB,α).由{¿=4,¿θ=α,¿得|OA|2=ρA2=43sin2α+1,由{ρ=4cosθ,θ=α,得|OB|2=ρB2=16cos2α,∴|OB|2|OA|2=4cos2α(3sin2α+1)=(4-4sin2α)(3sin2α+1).令t=sin2α,则|OB|2|OA|2=(4-4t)(3t+1)=-12t2+8t+4=-4❑√3t-❑√332+163,故当t=13,即sinα=±❑√33时,|OB||OA|取得最大值43❑√3.6.解:(1)将{x=2❑√55t,y=1+❑√55t消去参数t,得x-2y+2=0(x≠0).由{x-2y+2=0,y=kx,得{x=22k-1,y=2k2k-1,故曲线N的参数方程为{x=22k-1,y=2k2k-1k为参数,且k≠12.(2)曲线M的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,将{x=22k-1,y=2k2k-1代入(x-2)2+(y-1)2=r2,并整理得(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0.因为直线OA与直线OB的斜率之积为43,所以17−r216−4r2=43,解得r2=1,又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r2)k2+(4r2-32)k+17-r2=0,得12k2-28k+16=0,则Δ>0,满足题意,故r=1.
