课时作业15椭圆、双曲线、抛物线1．[2018·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是()A.－＝1B.－＝1C．x2－＝1D.－＝1解析：解法一当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.解法二当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.解法三因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.答案：C2．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－B．2－C.D.－1解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.故选D.答案：D3．[2018·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A．1B.C．2D．2解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.答案：C4．[2018·武汉市高中毕业生调研]曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(0＜k＜9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：因为0＜k＜9，所以25－k＞9－k＞0，所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2，则c＝a－b＝25－k－(9－k)＝16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1，则c＝a－b＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等，故选D.答案：D5．[2018·全国卷Ⅲ]设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()A.B．2C.D.解析：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.故选C.答案：C6．[2018·福州四校高三年级联考]过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±2x解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.答案：A7．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B．2C.D．2解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，故选D.答案：D8．[2018·昆明市高三复习教学质量检测]已知F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，过原点的直线l交椭圆E于A，B两点，AF2·BF2＝0，且＝，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.解析：解法一根据对称性，线段F1F2与线段AB在点O处互相平分，又AF2·BF2＝0，所以AF2⊥BF2，连接AF1，BF1，所以四边形AF1BF2是矩形，|AF1|＝|BF2|.根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，又＝，所以|AF1|＝a，|AF2|＝a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝2c，由勾股定理得(2c)2＝2＋2，得2＝，所以椭圆E的离心率e＝＝.故选D.解法二根据对称性，线段F1F2与线段AB在点O处互相平...
