专题突破练8利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018河南郑州二模,理21)已知函数f(x)=ex-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥lnx+1.2.(2018河南郑州一模,理21)已知函数f(x)=lnx+,a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x∈时,试判断函数g(x)=(lnx-1)ex+x-m的零点个数.3.设函数f(x)=x2-alnx,g(x)=(a-2)x.(1)略;(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2,①求满足条件的最小正整数a的值;②求证:F'>0.4.(2018河北保定一模,理21节选)已知函数f(x)=lnx-(a∈R).(1)略;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f.5.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.6.(2018山西名校二模,理21)已知函数f(x)=mlnx.(1)讨论函数F(x)=f(x)+-1的单调性;(2)定义:“对于在区域D上有定义的函数y=f(x)和y=g(x),若满足f(x)≤g(x)恒成立,则称曲线y=g(x)为曲线y=f(x)在区域D上的紧邻曲线”.试问曲线y=f(x+1)与曲线y=是否存在相同的紧邻直线,若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.参考答案专题突破练8利用导数证明问题及讨论零点个数1.解(1)f'(x)=ex-2x,由题设得f'(1)=e-2,f(1)=e-1,f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1.(2)f'(x)=ex-2x,f″(x)=ex-2,∴f'(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥f'(ln2)=2-2ln2>0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=e-1,x∈[0,1].f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,故可猜测:当x>0,x≠1时,f(x)的图象恒在切线y=(e-2)x+1的上方.下证:当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1,设g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0,则g'(x)=ex-2x-(e-2),g″(x)=ex-2,g'(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,又g'(0)=3-e>0,g'(1)=0,00;当x∈(x0,1)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又g(0)=g(1)=0,∴g(x)=ex-x2-(e-2)x-1≥0,当且仅当x=1时取等号,故x,x>0.又x≥lnx+1,即lnx+1,当x=1时,等号成立.2.解(1)f'(x)=(x>0),当a<0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上递增;当a>0时,由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得00时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2) x时,函数g(x)=(lnx-1)ex+x-m的零点,即方程(lnx-1)ex+x=m的根.令h(x)=(lnx-1)ex+x,h'(x)=ex+1.由(1)知当a=1时,f(x)=lnx+-1在递减,在[1,e]上递增,∴f(x)≥f(1)=0.+lnx-1≥0在x上恒成立.∴h'(x)=ex+1≥0+1>0,∴h(x)=(lnx-1)ex+x在x上单调递增.∴h(x)min=h=-2,h(x)max=e.所以当m<-2或m>e时,没有零点,当-2m≤e时有一个零点.3.解(1)略;(2)① F(x)=x2-alnx-(a-2)x,∴F'(x)=2x-(a-2)-(x>0).因为函数F(x)有两个零点,所以a>0,此时函数F(x)在单调递减,在单调递增.所以F(x)的最小值F<0,即-a2+4a-4aln<0. a>0,∴a+4ln-4>0.令h(a)=a+4ln-4,显然h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h(2)=-2<0,h(3)=4ln-1=ln-1>0,所以存在a0∈(2,3),h(a0)=0.当a>a0时,h(a)>0,所以满足条件的最小正整数a=3.②证明:不妨设00,故只要证即可,即证x1+x2>,即证+(x1+x2)(lnx1-lnx2)<+2x1--2x2,也就是证ln设t=(00,所以m'(t)≥0,当且仅当t=1时,m'(t)=0,所以m(t)在(0,+∞)上是增函数.又m(1)=0,所以当t∈(0,1),m(t)<0总成立,所以原题得证.4.解(1)略;(2)f'(x)=(x>0),令p(x)=x2+(2-a)x+1,由f(x)在(0,+∞)有两个极值点x1,x2,则方程p(x)=0在(0,+∞)有两个实根x1,x2,得a>4.∴f(x1)+f(x2)=lnx1-+lnx2-=lnx1x2-=-a,f=f=ln=ln-(a-2).∴f=ln-a-2+=ln+2.设h(a)=ln+2(a>4),则h'(a)=<0,∴h(a)在(4,+∞)上为减函数,又h(4)=0,∴h(a)<0,∴f5.(1)解f'(x)=(x-1)ex+2a·(x-1)=(x-1)(ex+2a).(ⅰ)若a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.(ⅱ)若a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)...
