高考数学复习点拨 直线与圆位置关系的巧引妙用VIP免费

直线与圆位置关系的巧引妙用我们知道，直线与圆的位置关系有：相离、相切、相交三种．若设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：①当dr时，直线与圆相离；②当dr时，直线与圆相切；③当dr时，直线与圆相交．在解题中，如果我们适时的利用直线与圆的位置关系，可以简捷、巧妙的解决许多问题．下面举例说明它的若干应用．一、求解集合问题例1对于集合22()|1Axyxy，，()|100xyBxyabab，，，，如果AB，则22ab与此同时ab的大小关系是．解析：集合A表示的图形是圆221xy；集合B表示的图形是直线0(00)bxayabab，．由AB可知，直线和圆没有公共点，所以，圆心到直线的距离大于圆的半径．从而有221abab，即22abab．二、求函数的值域或最值问题例2若40xy，xyR，，则22xy的最小值为．解析：令22(0)xykk，则方程22xyk表示一个圆，又40xy，由直线和圆有公共点，有0042k≤，解得8k≥．所以22xy的最小值为8．例3已知实数xy，满足223xy，求13ykx的取值范围．解析：1(1)3(3)yykxx，它的几何意义是圆上的动点()Mxy，与定点(31)A，连线的斜率，从而原题也就是求当直线MA与圆有公共点时，动直线MA斜率的取值范围．又直线MA的方程为(3)1ykx，由直线与圆有公共点，有23131kk≤，解得32132166k≤≤．三、证明不等式问题用心爱心专心例4设0a，实数xyz，，满足xyza，22222axyz，求证：203axyz，，≤≤．证明：由于实数xyz，，满足xyza，22222axyz，则直线xyaz与圆22222axyz必有公共点．所以，圆心(00)，到直线xyaz的距离d不超过圆的半径222az，即22211azaz≤，解得203az≤≤．类似可得203ax≤≤，203ay≤≤．四、求解斜率、一次函数问题例5已知直线l经过点(32)，且与圆221xy相切，求直线l的斜率．解析：常规方法是联立直线与圆的方程，利用判别式求解，但计算量大．由题意易知，k存在且不为0．若设l的斜率为k，则l的方程为(3)2ykx．由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，有22311kk，由此解得1(33)4k．与解方程相比，此解法更加简捷明快．五、讨论方程及其解的问题例6问p在什么范围内，关于xy，的方程组22211xypxyp有实数解？解析：方程2221xyp表示圆；1xyp表示直线．从而原方程组有解，转化为直线与圆有公共点．从而有200(1)12pp≤，解得113p≤≤．用心爱心专心