直线与圆位置关系的巧引妙用我们知道,直线与圆的位置关系有:相离、相切、相交三种.若设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有:①当dr时,直线与圆相离;②当dr时,直线与圆相切;③当dr时,直线与圆相交.在解题中,如果我们适时的利用直线与圆的位置关系,可以简捷、巧妙的解决许多问题.下面举例说明它的若干应用.一、求解集合问题例1对于集合22()|1Axyxy,,()|100xyBxyabab,,,,如果AB,则22ab与此同时ab的大小关系是.解析:集合A表示的图形是圆221xy;集合B表示的图形是直线0(00)bxayabab,.由AB可知,直线和圆没有公共点,所以,圆心到直线的距离大于圆的半径.从而有221abab,即22abab.二、求函数的值域或最值问题例2若40xy,xyR,,则22xy的最小值为.解析:令22(0)xykk,则方程22xyk表示一个圆,又40xy,由直线和圆有公共点,有0042k≤,解得8k≥.所以22xy的最小值为8.例3已知实数xy,满足223xy,求13ykx的取值范围.解析:1(1)3(3)yykxx,它的几何意义是圆上的动点()Mxy,与定点(31)A,连线的斜率,从而原题也就是求当直线MA与圆有公共点时,动直线MA斜率的取值范围.又直线MA的方程为(3)1ykx,由直线与圆有公共点,有23131kk≤,解得32132166k≤≤.三、证明不等式问题用心爱心专心例4设0a,实数xyz,,满足xyza,22222axyz,求证:203axyz,,≤≤.证明:由于实数xyz,,满足xyza,22222axyz,则直线xyaz与圆22222axyz必有公共点.所以,圆心(00),到直线xyaz的距离d不超过圆的半径222az,即22211azaz≤,解得203az≤≤.类似可得203ax≤≤,203ay≤≤.四、求解斜率、一次函数问题例5已知直线l经过点(32),且与圆221xy相切,求直线l的斜率.解析:常规方法是联立直线与圆的方程,利用判别式求解,但计算量大.由题意易知,k存在且不为0.若设l的斜率为k,则l的方程为(3)2ykx.由直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,有22311kk,由此解得1(33)4k.与解方程相比,此解法更加简捷明快.五、讨论方程及其解的问题例6问p在什么范围内,关于xy,的方程组22211xypxyp有实数解?解析:方程2221xyp表示圆;1xyp表示直线.从而原方程组有解,转化为直线与圆有公共点.从而有200(1)12pp≤,解得113p≤≤.用心爱心专心