【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步学业分层测评18平面直角坐标系中的距离公式北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·西安高一检测)已知点A(2k，－1)，B(k,1)，且|AB|＝，则实数k等于()A．±3B．3C．－3D．0【解析】|AB|＝＝，即k2＋4＝13，所以k＝±3.【答案】A2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】B3．点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A．a>7B．a<－3C．a>7或a<－3D．a>7或－3
3，解得a>7或a<－3.【答案】C4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是()A.B.C.D．2【解析】|OP|的最小值就是原点到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.【答案】D5．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6B.C．2D．不能确定【解析】kAB＝＝b－a.又∵过A，B的直线与y＝x＋m平行，∴b－a＝1，∴|AB|＝＝.【答案】B二、填空题6．点P与x轴及点A(－4,2)的距离都是10，则P的坐标为________．【解析】设P(x，y)，则当y＝10时，x＝2或－10；当y＝－10时，无解．则P(2,10)或P(－10,10)．【答案】(2,10)或(－10,10)7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.【导学号：10690056】【解析】因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10，所以b＝±10，所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.【答案】x－y＋10＝0或x－y－10＝08．(2016·蚌埠高一检测)如图216，点A的坐标为(1,0)，点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为______．图216【解析】由题意知，当AB垂直于直线x＋y＝0时，线段AB最短，此时kAB＝1，设B(a，－a)，则kAB＝＝1，∴a＝，故B.【答案】三、解答题9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，并求直线PM的方程．【解】∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P(a,2a)．根据两点间的距离公式得|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴P(2,4)或，∴直线PM的方程为＝或＝，整理得4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.10．已知点A(0,0)，B(1,1)，C(2，－1)，求△ABC的面积．【解】直线AB的方程为x－y＝0，点C到AB的距离d＝＝，|AB|＝＝，∴S△ABC＝|AB|d＝××＝.[能力提升]1．过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A．4x＋y－6＝0B．x＋4y－6＝0C．2x＋3y－7＝0或x＋4y－6＝0D．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0【解析】∵kAB＝－4，线段AB的中点C(3，－1)，∴过点P(1,2)与AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0，此直线符合题意．过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0，此直线符合题意．故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选D.【答案】D2．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是()A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0【解析】法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝，∴C＝－6(舍)或C＝8，故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.【答案】D3．若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则式子S＝的最小值为________．【解析】法一：∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1,1)的距离．即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)的距离，∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.法二：∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，∴S＝＝＝，∴x＝－时，Smin＝＝.【答案】4．直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．【解】∵直线l过点P(2，－5)，∴可设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0.∴点A(3，－2)到直线l的距离为d1＝＝，点B(－1,6)到直线l的距离为d2＝＝.∵d1∶d2＝1∶2，∴＝，∴k2＋18k＋17＝0，解得k1＝－1，k2＝－17，∴所求直线方程为x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0.
