热点跟踪训练31．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．解：(1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.2．(2020·湛江一模)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4.(1)求an和bn；(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4，所以a1＋d＝0，b1q＝1，a1＋2d＝b1q2，a1＋3d＝b1q3，四式联立解得a1＝－2，d＝2，b1＝，q＝2，所以an＝－2＋2(n－1)＝2n－4，bn＝2n－2.(2)数列{nbn}的前n项和Sn＝＋2＋3×2＋4×22＋…＋n·2n－2，所以2Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，所以－Sn＝＋1＋2＋22＋…＋2n－2－n·2n－1＝－n·2n－1，即Sn＝(n－1)·2n－1＋.3．(2020·安庆二模)已知等比数列{an}满足：S1＝1，S2＝4.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S1＝1，S2＝4，所以a1＝1，a1(1＋q)＝4，解得q＝3.所以an＝3n－1.所以Sn＝＝(3n－1)．(2)bn＝＝＝－，所以数列{bn}的前n项和Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.4．(2020·河南百校联盟模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn<3.(1)解：设数列{an}的公差为d，则由已知得解之得，a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(2)证明：bn＝＝，1所以Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－，故Tn＝3－－＝3－<3.5．(2020·孝感一模)已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2，即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)，则an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.(2)bn＝＋2log2an－1＝＋2log22n－1＝＋2n－1，则数列{bn}的前n项和Sn＝＋(1＋3＋…＋2n－1)＝＋n(1＋2n－1)＝1－＋n2.6．(2020·湖南百所重点名校大联考)已知数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝n－an(n＝1，2，3，…)．(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)令bn＝(2－n)(an－1)(n＝1，2，3，…)，如果对任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，求实数t的取值范围．(1)证明：由a1＋a2＋a3＋…＋an＝n－an，①得a1＋a2＋a3＋…＋an＋1＝n＋1－an＋1，②②－①可得2an＋1－an＝1.即an＋1－1＝(an－1)，又a1－1＝－，所以{an－1}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)解：由(1)可得an＝1－，故bn＝.设数列{bn}的第r项最大，则有解得所以3≤r≤4，故数列{bn}的最大项是b3＝b4＝.因为对任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，即bn≤t2－t成立，所以≤t2－t.解得t≥或t≤－.所以实数t的取值范围是∪.23
