函数与方程思想、数形结合思想1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为()A.abC.a＝bD.无法确定答案A解析令g(x)＝exf(x)－ex，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，即g(x)在R上为增函数.所以g(3)>g(2)，即e3f(3)－e3>e2f(2)－e2，整理得e[f(3)－1]>f(2)－1，即a0，b>0)的右焦点F作直线y＝－x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若FB＝2FA，则该双曲线的离心率为()A.B.2C.D.答案C解析设F(c，0)，则直线AB的方程为y＝(x－c)，代入双曲线渐近线方程y＝－x，得A.由FB＝2FA，可得B，把B点坐标代入－＝1，得－＝1，∴c2＝5a2，∴离心率e＝＝.5.记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C解析在同一坐标系中作出三个函数y1＝x2＋1，y2＝x＋3，y3＝13－x的图象如图.2由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}为y2＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y3＝13－x在点C下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.解方程组得点C(5，8).所以f(x)max＝8.6.已知函数f(x)＝|lg(x－1)|，若1＜a＜b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围为()A.(3＋2，＋∞)B.[3＋2，＋∞)C.(6，＋∞)D.[6，＋∞)答案C解析由图象可知b＞2，1＜a＜2，∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，则a＝，则a＋2b＝＋2b＝＝＝2(b－1)＋＋3，由对勾函数的性质知，当b∈时，f(b)＝2(b－1)＋＋3单调递增， b＞2，∴a＋2b＝＋2b＞6.7.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≥mx恒成立，则实数m的取值范围为()A.[－3－2，－3＋2]B.[－3＋2，0]C.[－3－2，0]D.(－∞，－3－2]∪[－3＋2，＋∞)答案C解析函数f(x)及y＝mx的图象如图所示，由图象可知，当m>0时，不等式f(x)≥mx不恒成立，设过原点的直线与函数f(x)＝x2－3x＋2(x<1)相切于点A(x0，x－3x0＋2)，因为f′(x0)＝2x0－3，所以该切线方程为y3－(x－3x0＋2)＝(2x0－3)(x－x0)，因为该切线过原点，所以－(x－3x0＋2)＝－x0(2x0－3)，解得x0＝－，即该切线的斜率k＝－2－3.由图象得－2－3≤m≤0.故选C.8.已知函数f(x)＝＋x＋sinx，若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)答案A解析由题意知函数f(x)＝＋x＋sinx的定义域为R，f(－x)＝＋(－x)＋sin(－x)＝－＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，且f′(x)＝＋1＋cosx>0在R上恒成立，即函数f(x)在R上单调递增.若∃x0∈[－2，1]，使得f(x＋x0)＋f(x0－k)<0成立，即f(x＋x0)<－f(x0－k)，所以f(x＋x0)x＋2x0，令g(x)＝x2＋2x，x∈[－2，1].则k>g(x)min＝g(－1)＝－1故实数k的取值范围是(－1，＋∞).9.已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.答案2解析如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V＝a2h＝，故a2h＝32，即a2＝.则其侧棱长为l＝＝.令f(h)＝＋h2，则f′(h)＝－＋2h＝，令f′(h)＝0，解得h＝2.4当h∈(0，2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增，所以当h＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝＋22＝12，故lmin＝＝2.10.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则...
