1.3.1利用导数判断函数的单调性[A基础达标]1．函数f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上()A．单调递增B．单调递减C．有增有减D．单调性与a、b有关解析：选A.f′(x)＝a2＋1>0，所以f(x)在R上单调递增．2．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()解析：选C.观察题图可知：当x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当00，得x>.令y′<0，得x<.所以函数y＝xlnx在上单调递减，在上单调递增．5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A．a≥1B．a＝1C．a≤1D．0＜a＜1解析：选A.因为f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，所以不等式3x2－2ax－1＜0在(0，1)内恒成立，所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.6．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________．解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0，解得－20，可得x<－3或x>；令f′(x)<0，可得－31时，f(x)0得解得01时，F(x)1时，f(x)f()D．f()，f()的大小关系无法确定解析：选C.f′(x)＝＝，当x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为<<1，所以f()>f()．故选C.12．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．解析：因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．答案：(－∞，－1)∪(0，1)13．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．解：法一：如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1，4)内f′(x)≤0，在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4，6]上．所以即所以5≤a≤7.即a的取值范围为[5，7]．法二：f′(x)＝x2－ax＋a－1，因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1，4)上恒成立，4即a(x－1)≥x2－1在(1，4)上恒成立．所以a≥x＋1.因为2
