第73题椭圆中的基本问题I．题源探究·黄金母题【例1】如图，圆的半径为，是圆内的一个定点，是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？【解析】连接，由于线段AP的垂直平分线和半径相交于点，则，则，由于为圆内一点，则，根据椭圆定义，点的轨迹是以为焦点的椭圆．精彩解读【试题来源】人教版A版选修1-1P42习题2．1A组T7．【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法，本题动点满足到两个定点距离之和是一个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义，可以利用定义法求出动点的轨迹．同理，符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此．利用定义不仅可以求轨迹，也可以解决很多相关问题，如求曲线方程、求离心率等，因此在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定义”【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双曲线、抛物线的定义，考虑问题注意运用线段的垂直平分线性质，两圆内切、外切的条件等．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质等．【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）椭圆性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求椭圆中距离、周长或者面积等；【解析】，故选B．【例2】【2017新课标III】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而，椭圆的离心率，故选A．（4）求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定椭圆中的弦长、式子的定值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求椭圆中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）．【难点中心】1．利用定义解题，是数学常见题，灵活应用定义，一方面考查对定义的理解，另一方面体现在灵活应用的“活”字上，利用定义解题的题型很多，涉及求离心率，求轨迹，求焦三角形的周长、面积等．2．解决椭圆的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【例3】【2016高考新课标II】已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，，则E的离心率为（）A.B．C．D．2【解析】离心率，，，故选A．【例4】【2017高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．3．涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的半焦距为． 椭圆的离心率为，∴①． 两准线之间的距离为8，∴②．联立①②得，∴，故椭圆E的标准方程为．（2）解法一：由（1）知．F1OF2xy(第17题)从而直线的方程：①直线的方程：②由①②，解得，∴． 点在椭圆上，由对称性，得，即或．因此点P的坐标为．解法二：设，则，由题意得，整理得， 点在椭圆上，∴，∴，∴，故点的坐标是．解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为．联立解得又在椭圆上，，整理得．又点的坐标是．解法四（秒杀技）：由已知得，故这四个点共圆．若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称．设...
