函数与方程思想专练一、选择题1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝()A．B．C．D．4答案C解析如图，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2，那么⇒⇒r2＝．故选C．2．(2018·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A．B．C．－D．－答案C解析依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－．故选C．3．设a>1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1
1，由此解得a≥2．故选B．4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0答案B解析原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y．即2x－x≤2－y－－y．故设函数f(x)＝2x－x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0．故选B．5．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0．5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()A．1＋米B．2米C．(1＋)米D．(2＋)米答案D解析由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0．5＝(t－0．5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0．5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋当且仅当x＝1＋时取等号，此时t取最小值2＋．故选D．二、填空题6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2．7．若存在两个正实数x，y，使得等式x3e－ay3＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为________．答案解析由题意知a＝，设＝t(t>0)，则令f(t)＝，则f′(t)＝，当t>3时，f′(t)>0，当00)，则BC＝5x，由cos∠BDA＋cos∠ADC＝0知＋＝0，解得x＝1，所以BC＝5．10．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和S5＝20，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公差为d，则即又因为d≠0，所以所以an＝n＋1．(2)因为＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝．因为存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，所以存在n∈N*，使得－λ(n＋2)≥0成立，即存在n∈N*，使λ≤成立．又＝，且≤(当且仅当n＝2时取等号)，所以λ≤．即实数λ的取值范围是－∞，．11．设函数f(x)＝lnx＋(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，由f(x)＝lnx＋得f′(x)＝－，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，所以f′(2)＝0，即－＝0，所以a＝．(2)因为f′(x)＝－＝，若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1．设x...
