考点规范练28数系的扩充与复数的引入考点规范练B册第17页基础巩固1.设i为虚数单位,则复数(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案:C解析:由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z·z=()A.❑√3B.❑√5C.3D.5答案:D解析:∵z=2+i,∴z=2-i.∴z·z=(2+i)(2-i)=5.故选D.3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)答案:B解析:设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以{a+1<0,1-a>0,解得a<-1.故选B.4.若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案:D解析:由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,故a=4.5.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.z=-1-iB.z=-1+iC.|z|=2D.|z|=❑√2答案:D解析:z=1-i,|z|=❑√1+1=❑√2,故选D.6.(2019全国Ⅲ,理2)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案:D解析:z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故选D.7.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=()A.2B.-2C.1+iD.1-i答案:A解析:由题意可知z2=1-i,故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.8.若复数z=1+ia-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i答案:A解析:z=1+ia-i=(1+i)(a+i)(a-i)(a+i)=a-1+(a+1)ia2+1.因为z是纯虚数,所以{a-1=0,a+1≠0,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A.9.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z12z2所对应的点在复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:∵z1=2+2i,z2=1-3i,∴z12z2=(2+2i)21-3i=8i1-3i=8i(1+3i)(1-3i)(1+3i)=-24+8i10=-125+45i.∴复数z12z2在复平面内所对应的点的坐标为(-125,45),位于第二象限.故选B.10.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案:❑√10解析:由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=❑√(-1)2+32=❑√10.11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则z2z1=.答案:-1-2i解析:由题意,得z1=i,z2=2-i,故z2z1=2-ii=(2-i)·(-i)i·(-i)=-1-2i.12.已知a∈R,i为虚数单位.若a-i2+i为实数,则a的值为.答案:-2解析:∵a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15−a+25i为实数,∴-a+25=0,即a=-2.能力提升13.(2019全国Ⅰ,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案:C解析:设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=❑√x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.14.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案:C解析:由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.15.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z1+z2z1-z2=()A.-1-iB.1+iC.1-iD.-1+i答案:C解析:∵z1=-1+3i,z2=1+i,∴z1+z2z1-z2=-1+3i+1+i-1+3i-1-i=4i-2+2i=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2i(-1-i)2=1-i.故选C.16.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.答案:52解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{a2-b2=3,ab=2,解得{a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.17.已知复数z=❑√3+i(1-❑√3i)2,z是z的共轭复数,则z·z=.答案:14解析:∵z=❑√3+i(1-❑√3i)2=❑√3+i-2-2❑√3i=❑√3+i-2(1+❑√3i)=(❑√3+i)(1-❑√3i)-2(1+❑√3i)(1-❑√3i)=2❑√3-2i-8=-❑√34+14i,故z=-❑√34−14i,∴z·z=(-❑√34+14i)(-❑√34-14i)=316+116=14.18.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是.答案:[-916,7]解析:由复数相等的充要条件可得{m=2cosθ,4-m2=λ+3sinθ,化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ-38)2−916,因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈[-916,7].所以λ的取值范围为[-916,7].高考预测19.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=()A.-1+2iB.-1-2iC.1+2iD.1-2i答案:B解析:∵z(1-i)2=4+2i,∴z(-2i)=4+2i.∴z=(2+i)i=-1+2i.∴z=-1-2i.故选B.
