压轴题增分练(四)(时间：30分钟满分：24分)1．(12分)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[规范解答及评分标准](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.(2分)又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(5分)(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈时，h′(x)<0，所以h(x)在区间上单调递减．(7分)所以对任意x∈，有h(x)0)上，且A，B两点到抛物线C的焦点的距离之和为.(1)求直径AB所在的直线方程；(2)过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于点N，求△PQN面积的最小值．[规范解答及评分标准](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝.将圆M的方程x2＋y2＋2x－10y＋6＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－5)2＝20，∴圆M的圆心为M(－1,5)．∴y1＋y2＝2×5＝10，故10＋p＝，∴p＝.(2分)∴抛物线C的方程为x2＝y.∴∴kAB＝＝x1＋x2＝2×(－1)＝－2.∴直径AB所在的直线方程为y＝－2(x＋1)＋5，即2x＋y－3＝0.(4分)(2)不妨记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，直线l的方程为y＝k(x＋1)＋5.联立消去y并整理，得x2－kx－k－5＝0.∴Δ＝(k＋2)2＋16>0，∴x1＋x2＝k，x1x2＝－k－5.∴|PQ|＝·|x1－x2|＝·＝·.(6分)∵函数y＝x2的导函数为y′＝2x，.∴抛物线C在点P处的切线的方程为y0－y1＝2x1(x0－x1)，∴x－2x0x1＋y0＝0，同理可得，抛物线C在点Q处的切线的方程为x－2x0x2＋y0＝0，∴x1，x2为一元二次方程x2－2x0x＋y0＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2x0，x1x2＝y0，∴2x0＝k，∴y0＝－k－5.∴x0＝.(8分)∴点N到直线l的距离d＝＝，(10分)∴当k＝－2时，△NPQ的面积S取得最小值，最小值为16.(12分)
