课时分层作业(十三)三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＋2c＝2acosB，则A＝()A．B．C．D．B[由正弦定理得，sinB＋2sinC＝2sinAcosB，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，则sinB＝－2cosAsinB，又sinB≠0，则cosA＝－，又A∈(0，π)，则A＝．]2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°C[由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°．]3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是()A．4B．5C．5D．6C[∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4．又b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝1＋32－2×1×4×＝25，∴b＝5，∴2R＝＝5．]4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为()A．B．C．D．3B[由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝，又A为三角形的内角，∴A＝，∴h＝AB·sinA＝．]5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A．B．C．－D．－C[由2S＝(a＋b)2－c2得2×absinC＝a2＋b2－c2＋2ab，得absinC＝2abcosC＋2ab，sinC－2cosC＝2，∴sin2C＋4cos2C－4sinCcosC＝4，∴＝4，∴tanC＝－或0(舍去)，故选C．]二、填空题6．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C＝．[∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝，又C为△ABC的内角，∴C＝．]7．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为．[∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD＝2××|AB||AD|·sin∠BAD＝2×××1×sin30°＝．]18．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝．[cosA＝＝－，∴A＝120°，∴C＝60°．从而＝，∴BC＝＝＝．]三、解答题9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．[解]连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosD＝62＋42－2×4×6cos60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cosB＝＝＝－．又0°
