贯穿于数学归纳法证明不等式的几个方法技巧纵观近几年高考数学归纳法试题的特点,多以解答题为主,重在考查学生归纳、探索的能力.而其中用数学归纳法证明数列不等式和构造函数利用单调性解决数列中的不等关系已成为高考命题的一道亮丽的风景线.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、做差比较、分析等；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.一.数学归纳法证明不等式的放缩技巧例2、求证：．分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．（2）假设当时命题成立，即.则当时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk所以则当时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．点评：本题在由到时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：111111113.313233333333331kkkkkkkk用心爱心专心二.数学归纳法证明不等式的做差比较与利用函数单调性技巧.例4、已知数列的各项都是正数,且满足.(1).证明,;(2).求数列的通项公式.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有.则时,11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而又.∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有.方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，；2°假设n=k时有成立，令,在[0，2]上单调递增,所以由假设有:.即也即当时成立，所以对一切,有．（2）下面来求数列的通项：,所以.令则21222221222121111111()()()222222nnnnnnnbbbbb用心爱心专心又，所以,即.点评：本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性.本题也可先求出第（2）问,即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．用心爱心专心
