每日一题规范练(第三周)[题目1](本小题满分12分)已知数列{an}满足an＝2＋2cos2，n∈N*，等差数列{bn}满足a1＝2b1，a2＝b2.(1)求bn；(2)记cn＝a2n－1b2n－1＋a2nb2n，求cn；(3)求数列{anbn}前2n项和S2n.解：(1)由题意知an＝3＋cosnπ，当n为奇数，an＝2；当n为偶数，an＝4.于是b1＝·a1＝1，b2＝a2＝4.故数列{bn}的公差为3.故bn＝1＋(n－1)·3＝3n－2.(2)cn＝2[3(2n－1)－2]＋4[3(2n)－2]＝36n－18.(3)由(2)知，数列{cn}为等差数列，故S2n＝a1b1＋a2b2＋a2n－1b2n－1＋a2nb2n＝c1＋c2＋…＋cn＝＝18n2.[题目2](本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos＝，AB·AC＝15.(导学号55410156)(1)求△ABC的面积；(2)若tanB＝2，求a的值．解：因为cos＝，且A∈(0，π)．所以cosA＝2cos2－1＝2×－1＝，sinA＝＝.又AB·AC＝bccosA＝bc＝15.所以bc＝25.所以S△ABC＝bcsinA＝×25×＝10.(2)由tanA＝，tanB＝2，所以tan(A＋B)＝＝－2，所以△ABC中，tanC＝－tan(A＋B)＝2，则B＝C，所以b＝c＝5.所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，解得a＝2.[题目3](本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表(如图所示)，解决下列问题．组别分组频数频率第1组[50，60)80.16第2组[60，70)a■第3组[70，80)200.40第4组[80，90)■0.08第5组[90，100]2b合计■■(1)求出a，b的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．①求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；②求所抽取的2名同学来自同一组的概率．解：(1)由题意可知，样本总人数为＝50，所以b＝＝0.04.又50×0.08＝4，所以a＝50－8－20－4－2＝16.(2)①由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y.从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．所以P(E)＝＝.即随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是.②设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．所以P(F)＝，即随机抽取的2名同学来自同一组的概率是.[题目4](本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(导学号55410157)(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．(1)证明：取AC中点O，连接OD，OB因为AD＝CD，所以AC⊥OD，又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥OB，且OB∩OD＝O，从而AC⊥平面OBD，BD⊂平面OBD，故AC⊥BD.(2)解：连接EO，由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由题设知，△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1∶1.[题目5](本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2x＋b)ex，F(x)＝bx－lnx，b∈R.(1)若b＜0，且存在区间M，使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；(2)若F(x＋1)＞b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求b的取值范围．解：(1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，由f′(x)＜0得x＜－；由f′(x)＞0得x＞－.F(x)的定义域为(0，＋∞)，且F′(x)＝b－＝，因为b＜0，所以F′(x)＜0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，所以－＞0，得b＜－2，即b的取值范围是(－∞，－2)．(2)F(x＋1)＝b(x＋1)－ln(x＋1)．要使F(x＋1)＞b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，即bx－ln(x＋1)＞0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，令g(x)＝bx－ln(...
