第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y-5=0B.x2+y2-4x+2y-5=0C.x2+y2+4x-2y=0D.x2+y2-4x+2y=0解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=√(-2+4)2+(1-0)2=√5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.答案C2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3解析将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).∵直线3x+y+a=0过圆心,∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.答案B3.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为()A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y-8=0C.x2+y2-4x-6y=0D.x2+y2-4x+6y=0解析易知圆C的半径为√13,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.答案D4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.10B.4√6C.5D.√5解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得{10+D+3E+F=0,20+4D+2E+F=0,50+D-7E+F=0,解得{D=-2,E=4,F=-20,即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为√5.故选D.答案D5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是.半径是.解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为√2.答案(-2,1)√26.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为.解析设M(x,y),则P(x,2y).∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.答案x2+4y2=47.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为.解析将圆的方程配方得x+k22+(y+1)2=-34k2+1,即r2=1-34k2>0,∴rmax=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).答案(0,-1)8.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,∴D+E=-2.①又A(4,2),B(-1,3)在圆上,∴16+4+4D+2E+F=0,②1+9-D+3E+F=0.③由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.能力提升练1.曲线x2+y2+2√2x-2√2y=0关于()A.直线x=√2轴对称B.直线y=-x轴对称C.点(-2,√2)中心对称D.点(-√2,0)中心对称解析原方程化为(x+√2)2+(y-√2)2=4,表示以(-√2,√2)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.答案B2.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有()A.14B.13C.12D.1解析x2+y2-x+y+m=0可化为x-122+y+122=12-m,则12-m>0,解得m<12.因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,即m>0,所以00,所以{D=2,E=-4,所以所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0.答案x2+y2+2x-4y+3=05.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.(1)求圆C的方程;(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.解(1)(方法1)直线AB的斜率k=5-01-6=-1,所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=6+12=72,y=0+52=52.因此,直线m的方程为y-52=x-72,即x-y-1=0.又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组{x-y-1=0,2x-7y+8=0,解得{x=3,y=2,所以圆心坐标为C(3,2).又半径r=|CA|=√13,则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(方法2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得{(6-a)2+(0-b)2=r2,(1-a)2+(5-b)2=r2,2a-7b+8=0,解得{a=3,b=2,r2=13,所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),则{x0+82=x,y0+02=y,解得{x0=2x-8,y0=2y,将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为x-1122+(y-1)2=134.素养培优练设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-√3a,0),C(√3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程.(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(√3a,0),∴{a2+aE+F=0,3a-√3aD+F=0,3a+√3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由{3+y=0,x2+y2+3y=0,解得x=0,y=-3.∴圆M过定点(0,-3).
