高中数学 第二章 解三角形 11 正弦定理的变形及三角形面积公式课时作业 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

课时作业11正弦定理的变形及三角形面积公式|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知△ABC的三个内角之比为A：B：C＝3：2：1，那么，对应的三边之比abc等于()A．3：2：1B.：2：1C.：：1D．2：：1解析：因为A：B：C＝3：2：1，A＋B＝C＝180°所以A＝90°，B＝60°，C＝30°.所以a：b：c＝sin90°：sin60°：sin30°＝1：：＝2：：1.答案：D2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9B．8C．9D．18解析：由题知A＝180°－120°－30°＝30°，∴＝，∴b＝6，∴S＝×6×6sin120°＝9.答案：C3．在△ABC中，已知＝2，则其外接圆的直径为()A．1B．2C．3D．4解析：由正弦定理＝＝＝2R(其中R是其外接圆的半径)，得2R＝2.答案：B4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由题意得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，又sinA≠0，解得sinA＝1，所以A＝，故选B.答案：B5．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2kmB．3kmC．3kmD．2km1解析：由题可知△ABC中A＝30°，∠ABC＝105°，S＝45°，AB＝6km，由正弦定理得＝∴BS＝＝＝3.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.解析：因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，所以absinC＝4，所以b＝2.答案：27．在△ABC中，若a＝3，cosA＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．解析：由cosA＝－，得sinA＝，由正弦定理，得2R＝＝＝2.所以R＝.答案：8．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．解析：由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．解析：由条件得＝＝，所以sinA＝sinC，同理可得sinB＝sinC.所以＝＝－.10．已知△ABC中，a＝50，B＝45°，C＝105°，(1)求b及△ABC的面积S；(2)求△ABC外接圆的面积．解析：(1)A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理＝，得b＝＝＝50.sinC＝sin(A＋B)＝sin(30°＋45°)＝，所以S＝absinC2＝×50×50×＝625(1＋)．(2)△ABC外接圆的直径2R＝＝＝100，所以R＝50.所以△ABC外接圆的面积为πR2＝2500π.|能力提升|(20分钟，40分)11．(广西宾阳中学月考)在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析：由已知及正弦定理，有＝，即sinAcosB＝cosAsinB且cosB≠0，所以sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0，因为A，B是三角形的内角，所以A－B＝0，即A＝B，所以△ABC是等腰三角形．故选A.答案：A12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a＝________.解析：在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝，所以有解得答案：813．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.解析：由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA.故3tanAcosC＝2sinC.因为tanA＝，所以cosC＝2sinC，tanC＝.所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝＝－1.即B＝135°.14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．解析：(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，3从而tanA＝，由于0b知A>B，的以cosB＝.故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为absinC＝.4