八年级上册12.3角的平分线的性质（第2课时）P到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：不必再证全等ODEPACB反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？P已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上PC角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵∵PDOA⊥PDOA⊥，，PEOB⊥PEOB⊥，，PDPD＝＝PEPE．．∴∴OPOP平分∠平分∠AOBAOB．．用数学语言表示为：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPDOA⊥于DPEOB⊥于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPDOA⊥于DPEOB⊥于E角的平分线的判定X应用角平分线性质定理的逆定理ABOQMN1．判断题：（1）如图，若QM=QN，则OQ平分∠AOB；()（2）如图，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，则OQ是∠AOB的平分线；()（3）已知：Q到OA的距离等于2cm，且Q到OB距离等于2cm，则Q在∠AOB的平分线上．()2．在问题1中，在S区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．（1）这个广告牌P应建于何处？这样的广告牌可建多少个？（2）若这个广告牌P离两条公路交叉处500m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000），这个广告牌应建于何处?S如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）思考DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求。∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等DPMNABCFE想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，GHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG=FM.又∵点F在∠CBD平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴点F在∠DAE的平分线上.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．课堂练习如图如图,,直线直线ll11、、ll22、、ll33表表示三条互相交叉的公路示三条互相交叉的公路,,现要建一个现要建一个货物中转站货物中转站,,要求它到三条公路的距要求它到三条公路的距离相等离相等,,可选择的地址有几处可选择的地址有几处??画出画出它的位置它的位置..l1l3l2课堂练习P1P2P3P4l1l2l3ABCEFD如图，△ABC中，D是BC的中点，DEAB⊥，DFAC⊥，垂足分别是E、F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线课堂练习在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DEAB⊥，DFAC⊥，下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的距离相等，其中正确的结论有()课堂练习ABCEFD已知：如图,在△ABC中，BD＝CD,1=2.∠∠求证：AD平分∠BACDEFABC12课堂练习已知:BDAC⊥于点D,CEAB⊥于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.DEFCA课堂练习B在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。1、角平分线的判定：2、三角形角平分线的交点性质：三角形的三条角平分线交于一点。3、角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。如图，BEAC⊥于E，CFAB⊥于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分∠BACABCFED课堂练习如图，O是三条角平分线的交点，ODBC⊥于D，OD=3，△ABC的周长为15，求SABC△ABCOMNGD课堂练习如图，在四边形ABCD中，∠B=C=90°∠，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DABDABCM课堂练习
