中难提分突破特训(五)1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn＝n(n＋1)－4＋.2．某淘宝店经过对“十一”七天假期的消费情况进行统计，发现在金额不超过1000元的消费者中男女之比约为1∶4，该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析，得到下表．女性消费情况：消费金额/元(0,200)[200,400)[400,600)[600,800)[800,1000]人数51015473男性消费情况：消费金额/元(0,200)[200,400)[400,600)[600,800)[800,1000]人数231032若消费金额不低于600元的消费者称为“网购达人”、低于600元的消费者称为“非网购达人”．(1)分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰？(2)根据以上统计数据填写如下2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．女性男性合计“网购达人”“非网购达人”合计附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879解(1)女性消费的平均数为×(100×5＋300×10＋500×15＋700×47＋900×3)＝582.5(元)．男性消费的平均数为×(100×2＋300×3＋500×10＋700×3＋900×2)＝500(元)．虽然女性消费者的平均消费水平较高，但“女网购达人”的平均消费水平(为712元)低于“男网购达人”的平均消费水平(为780元)，所以平均消费水平高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰．(2)2×2列联表如下表：女性男性合计“网购达人”50555“非网购达人”301545合计8020100K2＝≈9.091，因为9.091＞7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．3．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P－EF－B的大小为60°.(1)求证：EF⊥PB；(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥P－EBCF的侧面积．解(1)证明：在Rt△ABC中，BC⊥AB. EF∥BC，∴EF⊥AB，翻折后垂直关系没变，仍有EF⊥PE，EF⊥BE，且PE∩BE＝E，∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB.(2) EF⊥PE，EF⊥BE，∴∠PEB是二面角P－EF－B的平面角，∴∠PEB＝60°，又PE＝2，BE＝1，由余弦定理得PB＝，∴PB2＋BE2＝PE2，∴PB⊥BE， PB，BC，BE两两垂直，又EF⊥PE，EF⊥BE，∴△PBE，△PBC，△PEF均为直角三角形．由△AEF∽△ABC可得，EF＝BC＝2，S△PBC＝BC·PB＝，S△PBE＝PB·BE＝，S△PEF＝EF·PE＝2.在四边形BCFE中，过点F作BC的垂线，垂足为H，则FC2＝FH2＋HC2＝BE2＋(BC－EF)2＝2，∴FC＝.在△PFC中，FC＝，PC＝＝2，PF＝＝2，由余弦定理可得cos∠PFC＝＝－，则sin∠PFC＝，S△PFC＝PF·FCsin∠PFC＝.∴四棱锥P－EBCF的侧面积为S△PBC＋S△PBE＋S△PEF＋S△PFC＝2＋2＋.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ(ρ≥0,0≤θ<π)．(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．解(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，联立C1，C2的极坐标方程，得得4sinθcos2θ＝sinθ，此时0≤θ<π，①当sinθ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；②当sinθ≠0时，cos2θ＝，当cosθ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，当cosθ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，所以C1与C2交点的极坐标为(0,0)，，.(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程，得ρ1＝4sinβ，代入C2的极坐标方程，得ρ2＝，∴＝＝4cos2β...
