第五节椭圆(一)一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a的点的轨迹叫做椭圆，即点集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|}是椭圆．其中两定点F1，F2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a＝时，点的轨迹为线段F1F2，2ab>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．三、椭圆的标准方程、性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形中心(0，0)(0，0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点(±a，0)，(0，±b)(±b，0)，(0，±a)轴长长轴|A1A2|的长2a，短轴|B1B2|的长2b，|B2O|＝b，|OF2|＝c，|B2F2|＝a离心率e＝(0b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(D)A
＋＝1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝，又kAB＝＝，＝，又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆方程为＋＝1，故选D
2．如图所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|
(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度
解析：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得 点P在圆上，∴x2＋＝25，即轨迹C的方程为＋＝1
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0
∴x1＝，x2＝
∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝
