第五节椭圆(一)一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a的点的轨迹叫做椭圆，即点集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|}是椭圆．其中两定点F1，F2叫做焦点，定点间的距离叫做焦距(注意：2a＝时，点的轨迹为线段F1F2，2a<时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．三、椭圆的标准方程、性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形中心(0，0)(0，0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点(±a，0)，(0，±b)(±b，0)，(0，±a)轴长长轴|A1A2|的长2a，短轴|B1B2|的长2b，|B2O|＝b，|OF2|＝c，|B2F2|＝a离心率e＝(01＝b2，c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k＝1.1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(D)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝，又kAB＝＝，＝，又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆方程为＋＝1，故选D.2．如图所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.解析：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得 点P在圆上，∴x2＋＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|2PM|＋|PF1|的最大值为15．解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.2．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长轴长为4.(1)求C的方程；(2)点P是圆x2＋y2＝b2上第一象限内的任意一点，过P作圆的切线交椭圆C于Q(x1，y1)，R(x2，y2)(y1＞y2)两点．①证明：|PQ|＋|FQ|＝2；②求|QR|的最大值．(1)解析：由题得a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝1.代入得＋y2＝1.(2)①证明： Q(x1，y1)在椭圆上，∴＋y＝1，则|QF|＝＝＝2－x1.|PQ|＝＝＝＝x1.∴|PQ|＋|FQ|＝2.②解析：方法一由①同理得|PR|＋|FR|＝2，则|QR|＋|QF|＋|FR|＝4.又|QR|≤|QF|＋|FR|⇒2|QR|≤4⇒|QR|≤2.∴当QR过点F时取最大值2.方法二设切线为y＝kx＋m，m>0，由题QR与圆相切得＝1，m2＝k2＋1.再由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴x1＋x2＝－，由①同理可求|PR|＝x2，∴|RQ|＝(x1＋x2)＝4·＝4·.又m2＋3k2≥2m|k|，|QR|≤4×＝2，当m＝－k时，取最大值2.∴|QR|的最大值为2.3课时作业1．(2013·海淀模拟)2
