2017年高考数学基础突破——集合与函数3．函数的单调性与最值【知识梳理】1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【基础考点突破】考点1.求函数的单调区间命题点1给出具体解析式的函数的单调性【例1】函数y＝f(x)的图象如右图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]变式训练1．（1）函数y＝－x2的单调增区间为()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)变式训练2.（1）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x+1)B．y＝－x+1C．y＝()xD．y＝x＋（2）.函数f(x)＝log(x2－9)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)(3)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为________．命题点2解析式含参函数的单调性【例2】设函数y＝f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．【归纳总结】确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．变式训练3.已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．考点2.求函数的最值【例3】（1）函数的值域是__________．（2）已知函数，则该函数的值域是．（3）函数的值域是__________．（4）已知函数，则该函数的的值域是．【归纳总结】求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．变式训练4.（1）已知函数，则该函数的值域为.（2）已知函数；则该函数的值域是．（3）函数f(x)＝的最大值为________．（4）已知函数f(x)＝m－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为[，2]，则m＝________.考点3.函数单调性的应用命题点1.比较大小【例4】已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【解析】 函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.变式训练5.【2016年高考北京理数】已知，，且，则（）A.B.C.D.【归纳总结】比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．命题点2.解不等式【例5】已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)＜f(1－3x)，求x的取值范围．【归纳总结】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．命题点3.求参数范围【例6】(1)若函数在上是减函数，则的取值范围是__________(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0成立，那么a的取值范围是_____．【归纳总结】利用单调性求参数时：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．变式训练6.(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的...
