高中数学导数的应用典型错误解析专题辅导VIP免费

高中数学导数的应用典型错误解析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。一、导数的定义理解不清例1.已知函数fxxa()log1，求lim()()xfxfx0121错解：因为fxxa()log1∴fxxea'()log1∴lim()()'()logxafxfxfe01211剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数fxyxfxxfxxxx'()limlim()()00000函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2x，12x等。∴lim()()xfxfx0121lim()()()lim()'()logxxafxfxfxfxfe001212221212212·二、fx'()0为极值的充要条件理解不清例2.函数fxxaxbxa()322在x1处有极值10，求a、b的值。错解：fxxaxb'()322，由题意知f'()10，且f()110即230ab，且aab2110解之得ab411，或ab33，剖析：错误的主要原因是把fx'()0为极值的必要条件当作了充要条件，fx'()0为极值的充要条件是fx'()00且x0附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：当ab411，时fxxxxx'()381131112在x1附近两侧的符号相反，用心爱心专心∴，ab411当ab33，时，fxx'()312在x1附近两侧的符号相同，所以ab33，舍去。∴（ab411，时，fxxxx()3241116的图象见下面左图，ab33，时，fxxxx()32339的图象见下面右图。）三、函数的单调区间不完善例3.求函数fxxxx()ln()()10的单调增区间。错解：由题意得fxxx'()12110∴∴xxx22101又因为函数的定义域是()0，所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，）。剖析：错解错在对函数在x1处是否连续没有研究，显然函数在x1处是连续的，所以函数的单调递增区间是()0，。（函数的图象见下图）对于fx'()0（或fx'()0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。四、函数单调的充要条件理解不清例4.已知函数fxaxx()12在2，内单调递减，求实数a的取值范围。错解：fxax'()()2122，由函数fx()在2，内单调递减知fx'()0在2，内恒成立即21202ax()在2，内恒成立用心爱心专心因此a12剖析：错误的主要原因是由于对函数fx()在D上单调递增（或递减）的充要条件是fx'()0（或fx'()0）且fx'()在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a12时fx'()0在2，恒成立，所以不符合题意，舍去。五、求函数的最值没有考虑函数的不可导点。例5.求fxxx()()2232在13，上的最大值和最小值。错解：由题意得fxxxx'()431223·令fx'()0得x1∵，，fff()()()19113933∴当x1和3时，函数的最大值是93当x1时，函数的最小值是1剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：xx1202，∵，，，fffff()()()()()191139002033∴当x1和3时，函数的最大值是93当x0或2时，函数的最小值是0函数fx()的图象如图六、求函数的极值没有考虑函数的不可导点例6.求fxxx()()2232在13，上的极值。错解：由题意得fxxxx'()431223·令fx'()0，得x1当x1时，fx'()在x1附近两侧的符号相反，左正右负∴x1，是函数的极大值点。剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上在定义域内不可导的点为：xx1202，用心爱心专心经计算，fx'()在x10附近两侧的符号相反，左负右正fx'()在x22附近两侧的符号相反，左负右正∴x10和x22是函数的两个极小值点∴函数的极大值为f()11极小值为ff()()020（函数的图象见上图）用心爱心专心