8.1.2向量数量积的运算律课后篇巩固提升基础巩固1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于()A.43B.34C.-43D.-34答案A2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足⃗AP=2⃗PM,则⃗AP·(⃗PB+⃗PC)=()A.49B.43C.-43D.-49答案A3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于()A.❑√7B.❑√10C.❑√13D.4答案C4.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=()A.10B.❑√10C.7D.❑√7解析a2+a·b=|a|2+|a||b|cos60°=4+2×3×12=7.答案C5.设向量a,b,c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|=()A.1B.2C.4D.❑√5解析 c=-(a+b),∴c2=a2+b2+2a·b. a·b=0,∴c2=5,即|c|=❑√5.故选D.答案D6.(多选)已知向量m,n的夹角为π6,且|m|=❑√3,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于()A.4B.2C.1D.32解析 |m-n|2=m2-2m·n+n2=3-2×❑√3×2×❑√32+4=1,∴|m-n|=1.m在n方向上的投影的数量为|m|cosπ6=❑√3×❑√32=32.答案CD7.如图,已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上,⃗CB·⃗CA=⃗DA·⃗DE,|⃗CA|=|⃗CB|=|⃗DA|=|⃗DE|,|⃗CA−⃗CB|=2❑√2,在边DE上有2个不同的点F,G,则⃗AD·(⃗BF+⃗BG)的值为.解析由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形,斜边长为2❑√2,⃗AD·(⃗BF+⃗BG)=⃗BC·(⃗BF+⃗BG)=2⃗BC2+2⃗BC2=16.答案168.已知向量a,b,c满足a-b+2c=0,且a⊥c,|a|=2,|c|=1,则|b|=.解析因为a-b+2c=0,所以b=a+2c,b2=a2+4a·c+4c2=8,所以|b|=2❑√2.答案2❑√29.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,μa2-2b2-2μa·b+a·b=0. a+b+c=0,c=-a-b,∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=152.∴9μ-2×25-2μ×152+152=0.∴μ=-8512.∴存在μ=-8512,使得μa+b与a-2b垂直.10.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若⃗AB=b,⃗AC=a,作△ABC,求△ABC的面积.解(1) (2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,∴cosθ=a·b|a||b|=-64×3=-12.∴θ=2π3.(2)|a+b|=❑√(a+b)2=❑√a2+2a·b+b2=❑√16-12+9=❑√13.(3)S△ABC=12∨⃗AB||⃗AC|sinA=12×3×4×sin2π3=3❑√3.能力提升1.如图所示,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是()A.⃗AB∥⃗CDB.(⃗AB+⃗BC)⊥(⃗BC+⃗CD)C.(⃗AB−⃗AD)·(⃗BA−⃗BC)=0D.⃗AB·⃗AD=⃗BC·⃗CD答案D2.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有()A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析由b,c是平面内任意向量知A错误;由三角形的三边关系得B正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得C错误;D显然正确.答案BD3.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,满足⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点解析 ⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA,∴⃗OC⊥⃗AB.同理⃗OB⊥⃗AC,⃗OA⊥⃗BC,∴O是△ABC高的交点.答案D4.如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,⃗BC=❑√3⃗BD,|⃗AD|=1,则⃗AC·⃗AD等于()A.2❑√3B.❑√32C.❑√33D.❑√3解析方法1:(基底法) ⃗BC=❑√3⃗BD,∴⃗AC=⃗BC−⃗BA=❑√3⃗BD−⃗BA=❑√3¿)+⃗AB=❑√3⃗AD+(1-❑√3)·⃗AB.又 AD⊥AB,|⃗AD|=1,∴⃗AC·⃗AD=❑√3⃗AD·⃗AD+(1-❑√3¿⃗AB·⃗AD=❑√3.方法2:(定义法)设BD=a,则BC=❑√3a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,∴△BAD∽△BEC,∴BDBC=ADCE,∴CE=❑√3,∴cos∠DAC=cos∠ACE=ECAC=❑√3AC.∴⃗AC·⃗AD=|⃗AC||⃗AD|cos∠DAC=❑√3.故选D.答案D5.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于()A.8B.-8C.8或-8D.6解析 a·b=|a||b|cosθ=2×5cosθ=-6,∴cosθ=-35, 0≤θ≤π,∴sinθ=❑√1-cos2θ=45.∴|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×45=8.答案A6.(双空)(原创)已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|,则⃗AO在⃗...
